Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Социология arrow Математические методы в современных социальных науках

Модель борьбы двух биологических видов за ограниченные ресурсы

В природе совместно обитающие популяции различных организмов всегда образуют некоторое единство, называемое сообществом, или биоценозом. Представим себе ареал, в котором обитают два вида, причем из-за ограниченности ресурсов изменение численности каждой популяции сказывается на численности конкурента[1].

В обсуждаемой ниже модели переменные N(t) и N2(t) — значения численности популяций, F (Nb N2) — количество корма, съедаемого всеми особями в единицу времени.

Предположим, что с ростом численности популяций сокращается количество корма, вследствие чего происходит снижение темпов роста каждой популяции. Простейшая модель, отражающая механизм такого взаимодействия, сводится к следующей системе уравнений:

Здесь коэффициенты тип определяют чувствительность популяций к недостатку корма; аи b — коэффициенты естественного прироста численности популяций в условиях изобилия пищи.

Предположим также, что объем потребляемых кормов зависит линейно от численности популяций, т. е.

где g и h — положительные константы.

Подставляя эту зависимость в уравнение системы (6.10), получим

где р — а/т и q = b/n — параметры выживаемости популяций.

Решение системы (6.11) следует искать с учетом начальных условий:

Можно показать, что ни одна из фазовых траекторий системы дифференциальных уравнений (6.11), начавшись в первой четверти, никогда не может пересечь оси координат, которые тоже являются траекториями этой системы.

Рассмотрим систему (6.11) в случае р — q. Чем закончится конкуренция популяций двух видов, имеющих одинаковые значения параметров выживаемости? Для ответа на этот вопрос отметим следующее. Во-первых, из системы уравнений (6.11) следует:

Поэтому фазовая траектория системы (6.11) на фазовой плоскости {N, N2) задается уравнением:

Во-вторых, поскольку здесь главные изоклины системы (6.11) совпадают (рис. 6.7), то в силу системы (6.11) их уравнению

должны удовлетворять стационарные решения рассматриваемой системы. Эти стационарные решения находятся как пересечение линий (6.13) и (6.14), откуда следует, что положение точки равновесия зависит от начальных условий (см. рис. 6.7). При этом любая точка на прямой (6.14) соответствует устойчивому по Ляпунову равновесному решению системы дифференциальных уравнений (6.11).

Фазовые траектории системы уравнения (6.11) при р = q

Рис. 6.7. Фазовые траектории системы уравнения (6.11) при р = q

Фазовый портрет системы уравнений (6.11) при р < q

Рис. 6.8. Фазовый портрет системы уравнений (6.11) при р < q

Итак, при конкурентной борьбе двух видов с одинаковыми значениями параметров выживания со временем устанавливается динамическое равновесие, при котором ограниченный корм делится между видами в некоторой пропорции. Это можно трактовать так: ареал делится на две зоны влияния, размеры которых определяются начальными значениями Nl0 и N20.

Рассмотрим теперь систему (6.11) в случае р Ф q. Для определенности будем считать, что р < q. Это значит, что первая популяция слабее второй. Для построения фазовых траекторий на плоскости (Л7,, N2) перейдем от системы (6.11) к уравнению:

Из уравнения (6.15) следует, что на главной изоклине системы (6.11) gN{ + hN2 — q (рис. 6.8, линия 2) выполнено условие dN2/dNl — — О, и, таким образом, при пересечении этой прямой касательные к

Динамика популяций первого и второго видов (случай р < q)

Рис. 6.9. Динамика популяций первого и второго видов (случай р < q)

траекториям параллельны оси ONx. При пересечении главной изоклины#^ + hN2 —р (см. рис. 6.8, линия 1) касательные к траекториям параллельны оси ОN2. Отметим также, что в области А производные по времени #, и N2 в силу уравнений (6.11) положительны; в области В имеют разные знаки (здесь Nl < О,N2 > 0); в области С — отрицательны.

Поэтому при малых начальных значениях численностей популяций (начальная точка находится в области А на рис. 6.8) переменные Nx(t) и N2(t) сначала одновременно растут. Однако с некоторого момента (этот момент определяется условием пересечения траекторией изоклины##, + hN2 =р) численность второй популяции N2{t) продолжает расти, а численность первой популяции #,(/) начинает сокращаться. Это объясняется тем, что первая популяция более чувствительна к недостатку корма.

Если же численности обеих популяций в начальный момент велики (траектория начинается в некоторой точке области С на рис. 6.8), то сначала численности обеих популяций уменьшаются, так как недостаток корма пагубно действует на каждый вид. Но с некоторого момента, определяемого условием пересечения траекторией изоклины##, + hN2 = q (линия 2 на рис. 6.8), численность второй популяции начинает увеличиваться, хотя численность первой популяции продолжает сокращаться. На рис. 6.9 приведены интегральные кривые системы (6.11) при двух различных начальных условиях.

Для дальнейшего анализа модели перепишем систему (6.11) так:

Вычитая второе уравнение из первого, получим уравнение:

интегрирование которого с учетом начальных данных приводит к соотношению: я1п(Л^/7У10) — w 1 п(Л^2Г2о) = (па — mb)t. После соответствующих преобразований из этого уравнения получаем:

Отметим, что при t > 0 решение N2(t) системы (6.11) меньше решения N2 (?) уравнения N2 = nN2{q — hN2) при заданном начальном условии N2{0) = N20. Поэтому 0 < N2(t) < N2(t) при ? > 0, следовательно, функция N2(t) ограничена сверху в силу ограниченности логистической функции N2(t).

Правая часть уравнения (6.16) стремится к нулю при ? —» +°°, так как здесь т > 0, п > 0, р < q, а решение N2(t), как было установлено выше, ограниченно. Поэтому jV,(?) стремится к нулю при t —» +°о.

Что касается популяции второго вида, то при этих условиях ее численность со временем стабилизируется. Действительно, пусть время t достаточно велико, и численностью популяции первого вида можно пренебречь. Тогда динамика популяции второго вида, в силу системы (6.11), определяется уравнением Ферхюльста N2 = nN2 (q — — hN2), и численность популяции второго вида устремляется к его равновесному значению N2* = q/h = b/nh.

Как видим, при конкуренции двух популяций за пищевые ресурсы вид, у которого параметр выживания больше, выживает, полностью вытесняя своего соперника, при этом численность первого стабилизируется.

Рассмотрим процесс развития малого бизнеса в некоторой отрасли, в которой можно говорить о конкуренции с государственными предприятиями. Естественно, о самолетостроении здесь и речи быть не может, но при анализе развития сферы некоторых услуг и производства товаров народного потребления вполне допустима биологическая аналогия (6.11).

В этом случае коэффициенты а и b можно трактовать как естественные темпы прироста производства. Что касается коэффициентов шип, то эти параметры отражают снижение темпов прироста в связи с увеличением предложения товаров, усилением конкуренции и т. д.

Неравенство значений параметров р и q может быть связано с различными условиями функционирования. Ясно, что при благоприятных условиях одна форма производства (например, частная) может целиком вытеснить другую (государственную). На языке рассмотренной динамической модели биоценоза это означает, что «параметр выживания» у частных предприятий выше, чем у государственных. Точно так же при условиях, более выгодных для государственных предприятий, возникновение любого числа частных фирм (кооперативов, малых предприятий, фермерских хозяйств и т. д.), даже сколь угодно большого, не приведет к формированию частного сектора экономики, поскольку в перспективе эти предприятия обречены на «вымирание». Третья возможность — возникновение некоторого равновесного состояния, когда обе формы производства сосуществуют.

  • [1] См.: Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., 1976;Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Указ, соч.; Гильдерман Ю. И. Указ. соч.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы