Корреляционные параметрические методы изучения связи
Измерение тесноты (силы) и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака и одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (при исследовании множественных зависимостей) факторных признаков.
Линейный коэффициент корреляции (К. Пирсона) характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.
В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента, например:
Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:
Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:
где а, — коэффициент регрессии в уравнении связи; ах — среднее квадратическое отклонение соответствующего, статистически существенного, факторного признака.
Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от — 1 до 1: [—1 < г< 1]. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции
Оценка линейного коэффициента корреляции
Таблица 8.7
|
Значение линейного коэффициента связи |
Характеристика связи |
Интерпретация связи |
|
/*=0 |
Отсутствует |
— |
|
0 |
Прямая |
С увеличением х увеличивается у |
|
— 1 < г < 0 |
Обратная |
С увеличением л: уменьшается у и наоборот |
|
г= 1 |
Функциональная |
Каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака |
Таблица 8.8
Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции
|
№ п/п |
Объем произведенной продукции (млн руб.), Y |
Затраты на 100 изделий (чел.-час), X |
ух |
У2 |
х2 |
|
1 |
221 |
96 |
21 216 |
48 841 |
9216 |
|
2 |
1070 |
77 |
82 390 |
1 144 900 |
5929 |
|
3 |
1001 |
77 |
77 077 |
1 002 000 |
5929 |
|
4 |
606 |
89 |
53 934 |
367 236 |
7921 |
|
5 |
779 |
82 |
63 878 |
606 841 |
6724 |
|
6 |
789 |
81 |
63 909 |
622 520 |
6561 |
|
Сумма |
4466 |
502 |
362 404 |
3 792 338 |
42 280 |
|
Средняя |
744,33 |
83,67 |
60 400,67 |
632 056,33 |
7046,67 |
совпадают. Интерпретация выходных значений коэффициента корреляции представлена в табл. 8.7.
Пример. На основе выборочных данных о деятельности шести предприятий одной из отраслей промышленности Российской Федерации оценить тесноту связи между трудоемкостью продукции предприятия (X, чел.-час) и объемом ее производства (Y, млн руб.) (табл. 8.8).
1. Используя формулу (8.4), получаем:
2. По формуле (8.5) значение коэффициента корреляции составляет:
Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.
В случае наличия линейной или нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда 52 характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от общей средней:
где г| — корреляционное отношение; о2 — общая дисперсия; о2 — средняя из частных (групповых) дисперсий; S2 — межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).
Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.
Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:
где 52 — дисперсия выровненных значений результативного признака, т. е. рассчитанных по уравнению регрессии; а2 — дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака; а2ст — остаточная дисперсия.
Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (О < т| < 1).
Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, т. е. при исследовании трех признаков одновременно и более, вычисляются множественный и частные коэффициенты корреляции.
Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.
Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:
где г — парные коэффициенты корреляции между признаками.
Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 < R < 1. Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.
На основе данных табл. 8.4 рассчитаем коэффициент множественной корреляции:
Множественный коэффициент корреляции составляет:
Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками х, и х2 при фиксированном значении других (к — 2) факторных признаков, когда влияние х3 исключается, т. е. оценивается связь междух, их2 в чистом виде.
В случае зависимости у от двух факторных признаков х, и х2 коэффициенты частной корреляции имеют вид:
где г — парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.
В первом случае исключено влияние факторного признака х2, во втором —х,.
На основании приведенных выше данных о зависимости трех факторов деятельности предприятий вычислим частные коэффициенты корреляции (табл. 8.4):
