Вероятность ошибки в бинарных системах

В теории сигналов доказывается, что наилучшими показателями достоверности при бинарной передаче обладают антиподные сигналы. Антиподные сигналы - это сигналы, которые являются зеркальным отображением лпуг дпуга относительно оси впемени. т.е. Я,(Л = — S~.it) Гпис.4.37У

Примеры антиподных сигналов

Рис.4.37. Примеры антиподных сигналов

При передаче информации этими сигналами одному из сигналов, например, 51(/) ставится в соответствие логический нуль «О», другому 52(0 - логическая единица «1». Прием таких сигналов осуществляется с помощью схемы, изображенной на рис.4.38.

На вход приемника поступает сигнал 5(?) длительностью Т в присутствии шумовой помехи /?'(/). Пусть, для примера, 5'1(^) = 170 -соб(^), а

5'2(/) = -/70 8т(<у0*) (рис.4.37,б). Под шумовой помехой будем полагать белый шум со спектральной плотностью мощности У0.

Схема приема антиподных сигналов

Рис.4.38. Схема приема антиподных сигналов

Задачей принимающего фильтра является ослабление помех от соседних каналов и устранение межсимвольной интерференции. С выхода принимающего фильтра смесь 5'(?) + и(/) поступает на коррелятор. Поскольку начальная фаза опорного сигнала 50(*) в корреляторе совпадает с фазой принятого сигнала ?,(?) или 52(0> т0 рассматриваемый приемник представляет собой схему когерентного приема. На выходе коррелятора образуется выборка Z{T) в конце каждого интервала времени передачи сигнала Т. Схема принятия решения выносит решение относительно значения выборки Z(T). Предполагается, что шум п'(г) является случайным гауссовским процессом, а принимающий фильтр линейным. Линейная операция со случайным гауссовским процессом дает другой гауссов процесс. Следовательно, на выходе фильтра шум является также гауссовским. Напряжение на выходе кореля- тора в момент времени Т можно описать выражением

где аг(Г) - компоненты сигнала: ах(Т) = 1/0Т, а2(Т) = -1/0Т; 1/0 - амплитуда видеосигнала на входе интегратора коррелятора; Т - время интегрирования; п0{Т) - шумовая компонента (отчет шума на выходе интегратора в момент времени Т).

Шумовая компонента п0(Т) - случайная величина с гауссовским распределением и нулевым средним. Поэтому Z - случайная гауссовская величина со средним значением ах(Т) или а2{Т) в зависимости от того, передавался двоичный нуль или двоичная единица. Плотность вероятности гауссовского шума п0(Т) можно выразитьследующим соотношением:

где <702 - дисперсия шума. Учитывая выражения (4.47) и (4.48), условные плотности вероятности Р^/б)) и Р(г/32) можно представить в виде:

Условную плотность вероятностей Р(2/8{), (1 = 1, 2), следует понимать, как плотность вероятности величины 2 на выходе коррелятора при условии, что на вход приемника поступил сигнал ?,•(*). На рис.4.39 изображены функции Р(2/8Х) и Р(7/У2).

Условные плотности вероятности Р{2/8), Р(2/5)

Рис.4.39. Условные плотности вероятности Р{2/8]), Р(2/52)

Как следует из рис.4.39, при приеме сигналов возможны ошибки двух видов: шум и'(?) так искажает сигнал 5'1(/), что величина 2 оказывается отрицательной, и схема принятия решения выбирает гипотезу - был передан сигнал У2(/). Возможно также обратная ситуация: 2> 0, хотя был передан сигнал |?2(*). В первом случае вероятность ошибки равна

а во втором -

По формуле вероятности полной ошибки, вероятность принятия неправильного решения составит:

Здесь Р - вероятность неправильного решения; Р(8{), Р(82) - априорные вероятности передачи сигналов ^ и52.

Если полагать, что Р(5'1) = Е>(5'2) = 1/2, то, учитывая выражения (4.49), (4.50), (4.51), (4.52), получим где - гауссовский интеграл ошибок; а = а{ =

= ~а2.

Обозначив а2 -т/2 = Ев и учитывая, что , выражение (4.51) можно переписать в виде:

где Ев - энергия входного сигнала 5'(?) или (поскольку за время Т передается всего лишь один бит) - энергия одного бита; Ы0 - спектральная плотность мощности шумов на входе коррелятора; Рв - вероятность ошибки при приеме одного бита; АЕ - полоса частот принимающего фильтра.

На рис.4.40 приводится характерный водопадоподобный график зависимости вероятности ошибки Рв ОТ отношения Ев / N о .

Характерная зависимость Р(Е/N)

Рис.4.40. Характерная зависимость РВв/N0)

Из выражения (4.54) следует, что при бинарной передаче одного бита антиподными сигналами и когерентном приеме вероятность ошибки зависит от отношения энергии сигнала, затрачиваемой на передачу этого бита, к спектральной плотности шумов на входе коррелятора.

Передавать бинарную информацию можно при использовании различных видов модуляции сигналов. При амплитудной модуляции двоичная единица передается одним уровнем сигнала, а двоичный нуль - другим. При фазовой модуляции на л/2 двоичная единица передается сигналом с начальной фазой <^0 =0, а двоичный нуль - при 0=л/2 . При частотной модуляции двоичная единица передается на частоте со0, а двоичный нуль - на частоте щ+Асо. При относительной фазовой модуляции оценивается разность начальных фаз сигналов в двух соседних интервалах времени. При этом за время каждого интервала времени Т передается один из битов; если разность начальных фаз составляет 1 — (р{_ =0, то считается, что передана двоичная единица, если же ср - 1_х = л, то полагают, что послан двоичный нуль.

В табл.4.5 приведены выражения вероятности ошибки для наиболее распространенных схем бинарного приема сигналов.

Таблица 4.5. Вероятность ошибки в приеме одного бита Рв для различных бинарных видов модуляции

По формулам, приведенным в табл.4.5, можно сопоставить различные виды модуляции при бинарном приеме. Например, можно вычислить, что разница по энергии сигнала Ев, затрачиваемая на прием одного бита при использовании антиподных сигналов и сигналов с относительной фазовой модуляцией, составляет примерно 3 дБ для Рв =10-4. Эта цена за сравнительную простоту реализации схем обработки с относительной фазовой модуляцией. Помимо сложности реализации и величины Рв существуют и другие факторы, влияющие на выбор модуляции. Например, в некоторых случаях (в каналах со случайным затуханием) желательным является некогерентный прием. При таком приеме для заданной Рв приходится затрачивать большую энергию для передачи одного бита по сравнению со случаем когерентного приема.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >