Вероятность ошибки в системах с многоразмерными сигналами

В соответствии со структурными схемами приема многоразмерных сигналов, приведенных в предыдущих разделах, можно оценить достоверность приема таких сигналов. В аналоговой технике обычно при решении этих задач находятся зависимости вероятности ошибки приема сигнала РЕ от отношения энергии сигнала Е3 к спектральной плотности мощности шумов 0 на входе приемника.

Используя результаты решения этих задач [8] и учитывая, что количество передаваемых сигналов равно размерам символьного алфавита М, представим вероятность символьных ошибок РЕ) равновероятных сигналов при различных видах модуляции в табл.4.6 [2].

Таблица 4.6. Вероятность ошибки приема М-размерного сигнала

В табл.4.6 приняты следующие обозначения:

Ея - энергия, приходящаяся на символ (сигнал) соответствующий совокупности битов;

РЕ(М) - вероятность символьной ошибки;

А^0 - спектральная плотность мощности шумов на входе демодулятора;

М = 2к - размер алфавита сигналов (количество сигналов).

На рис.4.41 приводятся зависимости РЕ (?5 /) для систем с сигналами ФМн (когерентный прием), ЧМн (некогерентный прием) [2].

Из приведенных рисунков следуют известные выводы классической теории приема сигнала в шумах:

  • - с увеличением энергии сигнала уменьшается вероятность ошибки в приеме этого сигнала;
  • - увеличение размерности сигналов К (количества однотипных сигналов с одинаковой энергией, которые приходится различать при приеме) приводит к возрастанию вероятности ошибки;
  • - при заданной вероятности ошибки на символ рост размерности сигнала требует увеличения энергетических затрат;
  • - ортогональные многоразмерные ЧМн сигналы оказываются более помехоустойчивыми по сравнению с многоразмерными сигналам ФМн.
Вероятность символьной ошибки при приеме многоразмерных сигналов

Рис.4.41. Вероятность символьной ошибки при приеме многоразмерных сигналов: а - когерентнаые с ФМн сигналы; б - ортогональные когерентные с ЧМн сигналы; в - ортогональные некогерентные с ЧМн сигналы

Указанные особенности можно объяснить, используя понятия из теории сигналов. В этой теории доказывается, что при заданной вероятности ошибки в приеме сигнала энергия, затрачиваемая на различение сигналов, зависит от расстояния между сигналами. Под расстоянием между сигналами понимается ве-личина /?(, Б j ), равная

где Е{ и Ej - энергия сигналов; - взаимная энергия;

Чем больше расстояние между сигналами, тем меньшая энергия требуется для их разрешения. Для равноэнергетических ортогональных сигналов, поскольку их взаимная энергия равна нулю,

Для сигналов ФМн расстояние между двумя соседними сигналами находится по следующей формуле:

где А<р — сдвиг фаз между соседними сигналами.

Сказанное проиллюстрировано на рис.4.42, где показаны наборы сигналов с ФМн на сигнальной плоскости для М= 2, 4, 8.

На рис.4.42 изображены антиподные векторы ^ и 52, угол между которыми равен /г, и вектор шума п. Граница, разделяющая области принятия решения о том, какой вектор содержится в принятой смеси у, показана пунктирной линией.

На рис.4.42, б изображена совокупность векторов 5г, образующих четырехразмерный сигнал (М = 4). Векторы расположены по отношению друг к другу под углами Ар = л/2 А. Границы областей решения в этом случае делят сигнальную плоскость на четыре области.

Расположение векторов сигнала с ФМн на сигнальной плоскости при М = 2,4,8

Рис.4.42. Расположение векторов сигнала с ФМн на сигнальной плоскости при М = 2,4,8

На рис.4.42, в показан набор сигналов ФМн при А(р = 2тг/%. На всех этих рисунках изображен вектор шума п и смесь у = 5,- + п.

Рассматривая рис.4.42, можно отметить следующее. По мере роста числа М векторы сигналов располагаются плотнее и для появления ошибки при воздействии на сигнал шума требуется меньшая величина шумового вектора п. С увеличением мощности сигналов 5, ошибочное решение возникает при большей мощности шумов.

Рис.4.41 и 4.42 позволяют пояснить возникновение ошибок при приеме сигнала. Однако, при исследовании систем передачи информации гораздо более удобными оказываются характеристики системы, представляемые в виде зависимостей РЬЬ/тУ0), где Рь - вероятность ошибки одного передаваемого канального бита, Еь - энергия, затрачиваемая на передачу бита (под вероятностью ошибки, приходящейся на один бит, понимается количество ошибочных бит на выходе демодулятора, отнесенная к общему числу переданных бит).

Такой подход позволяет сопоставить различные системы между собой. Поэтому характеристики, представленные в виде формул табл.4.6 и рис.4.41, пересчитывают в зависимости Ръ (Еъ /ЛГ0).

При пересчете доказывается, что для ортогональных сигналов [41]:

для сигналов с ФМн, использующих код Грея [41],

Графики РЬЬ0) для ФМн и ЧМн сигналов приведены на рис.4.43.

Вероятность битовой ошибки при приеме многоразмерных сигналов

Рис.4.43. Вероятность битовой ошибки при приеме многоразмерных сигналов: а - когерентные с ФМн сигналы; б - ортогональные когерентные с ЧМн сигналы; в - ортогональные некогерентные с ЧМн сигналы

Изменение энергетических оценок системы, (переход от энергии сигнала к энергии пересчитанной на один бит) приводит к сжатию масштаба горизонтальной оси графиков на рис.4.43 в «К» раз. При этом оказывается, что в новом масштабе кривые Реь0) при К = 1 останутся на месте, а кривые при К > 1 разместятся левее их. Это широко известный «эффект массштаба». Если далее перейти от вероятности ошибки на символ РЕ к вероятности ошибки на бит Рь (т.е. учесть соотношения 4.59 и 4.58), то в результате получим зависимости, изображенные на рис.4.43.

Новый энергетический критерий позволяет более полно охарактеризовать системы с различными видами сигналов и сделать следующие выводы:

  • - рост размерности сигналов с ФМн приводит к увеличению энергетических затрат;
  • - энергетические показатели систем с ЧМн сигналами улучшаются с увеличением разрядности символов;
  • - с точки зрения энергетики многоразмерные системы с ЧМн сигналами оказываются предпочтительнее по сравнению с системами ФМн.

Почему же на практике системы с ФМн, обладающие худшими энергетическими показателями по сравнению с ЧМн, находят широкое применение? Это объясняется тем, что помимо энергетического критерия существует и ряд других факторов, которые следует учитывать при проектировании. Например, занимаемая полоса частот, пропусканная способность, сложность, стоимость и т.п. Для системы с многоразмерными сигналами (например с ЧМн) повышение величины «К» подразумевает увеличение требуемой полосы частот. Для систем ФМн увеличение величины «К» позволяет увеличить скорость передачи информации при той же ширине полосы частот.

Таким образом, графики вероятности ошибки рис.4.43 показывают, что размерность сигнала представляет средство, реализации компромисса между параметрами сигнала: при ортогональной передаче повышение достоверности может быть получено за счет расширения полосы; при использовании ФМн сигналов эффективность использования полосы частот может быть повышена за счет снижения достоверности приема.

Вновь рассмотрим рис.4.43, б; 4.43, в и обратим внимание на зависимость вероятности ошибки от Еь /И0 при К —» оо. Это так называемая предельная характеристика. К этой характеристике стремится семейство изображенных на рисунке кривых с ростом размерности используемого сигнала. Предельная характеристика следует из теоремы Шеннона о пропускной способности канала передачи, которую обсудим в следующих разделах.

Из рассмотрения предельной характеристики следует, что:

  • - вероятность ошибки в системе передачи информации может быть сколь угодно малой при энергетике системы близкой к энергетическому порогу (7Я Ь0 =-1,6 дБ;
  • - передача информации становится невозможной, если система оказывается под энергетическим порогом, при этом вероятность ошибки приема одного бита становится равной 0,5.

Пороговую величину Сп называют порогом Шеннона. Сопоставляя вероятность ошибки с предельной характеристикой можно оценить энергетическую эффективность конкретной системы и сопоставить различные системы между собой. Например, для передачи информации бинарной системой ФМн при малых вероятностях ошибки (порядка 10-5) энергетические затраты на один бит составляют 9,6 дБ (рис.4.43,а). В то время как теоретически для этого требуется -1,6 дБ. Следовательно, энергетические потери составляют 11,2 дБ. Уменьшить эти потери можно, используя другие виды модуляции сигнала или кодируя передаваемую информацию. Но насколько бы не был совершенен код, перейти предел -1,6 дБ невозможно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >