Системы счисления

Представление чисел в разных системах счисления

  • Система счисления — способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Существуют различные системы счисления. От их особенностей зависят наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметических операций.
  • Двоичная единица единица измерения энтропии и количества информации. Энтропию в 1 бит имеет источник с двумя равновероятными сообщениями. Количество двоичных единиц указывает (с точностью до единицы) среднее число двоичных знаков, необходимое для записи сообщений данного источника в двоичном коде. Употребляются также десятичные единицы. Переход от одних единиц к другим соответствует изменению основания логарифмов в определении энтропии и количества информации (10 вместо 2).
  • Непозиционная система счисления (римская) имеет сложный способ записи чисел и громоздкие правила выполнения арифметических операций.
  • Позиционная система счисления одной и той же цифре присваивает различное значение, определяющееся позицией в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Позиционной является десятичная система, используемая в повседневной жизни. Помимо десятичной, существуют другие позиционные системы. Некоторые из них нашли применение в вычислительной технике.

В позиционной системе с основанием s любое число л: может быть представлено в виде полинома от основания s:

где в качестве коэффициентов г;, могут стоять любые из s цифр, используемых в системе счисления.

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях чисел, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях чисел). Запятая опускается, если нет отрицательных степеней. Позиции цифр, отсчитываемые отточки, называют разрядами.

  • Десятичная система счисления — система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел с основанием 10, т. е. в ней один и тот же знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Предполагают, что выбор основания ведет свое начало от счета на пальцах. Единица каждого следующего разряда в 10 раз больше единицы предыдущего. В основании системы (d) счисления использованы 10 символов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Для записи числа определяют, сколько в нем содержится единиц наивысшего разряда; затем определяют в остатке число единиц разряда, на единицу меньшего, и т. д. Полученные цифры записывают рядом, например: 4 • 102 + 7 • 101 + 3 • 10° = 473.
  • Двоичная система счисления — система счисления, построенная на позиционном принципе записи чисел с основанием 2. В системе имеются только два знака — цифры 0 и 1. Число 2 считается единицей 2-го разряда и записывается в виде 10 (читается: «один — нуль»). Каждая единица следующего разряда в 2 раза больше предыдущей, т. е. эти единицы составляют последовательность чисел 2, 4, 8, 16,..., 2П,.... Для того чтобы число, записанное в десятичной системе счисления, записать в двоичной системе счисления, его делят последовательно на 2 и записывают получающиеся остатки 0 и 1 в порядке от последнего остатка к первому.

В этой системе особенно просто выполняются все арифметические действия (например: таблица умножения сводится к равенству 1 • 1 = 1). Но эта система неудобна тем, что запись числа в ней очень громоздка.

  • Восьмеричная система использует восемь цифр: 0,1,2, 3,4, 5,6,7. Например, восьмеричное число (703,04)8 = 7 • 82 + 0 ? 81 + 3 • 8° + 0 ? 8-1 + 4 • 8"2 = (451,0625)ш
  • Шестнадцатеричная система — для изображения чисел употребляется 16 цифр: от 0 до 15, при этом, чтобы одну цифру не изображать двумя знаками, приходится вводить специальные обозначения для цифр, больших девяти. Обозначим первые десять цифр этой системы цифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр — латинскими буквами: 10 — А, 11 — В, 12 — С, 13 — D, 14 — Е, 15 — F Например, шестнадцатеричное число (В2Е,4)|6= 11 • 162 + 2 • 16' + 14 • 16° + 4 х X 16-1 = (2862,25)|0.

В большинстве ЭВМ используются двоичная система и двоичный алфавит для представления и хранения чисел, команд и другой информации, а также при выполнении арифметических и логических операций.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы применяются в текстах программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов.

Таблицы систем счисления

Т. к. базовые ЭЦВТ устойчивы только в двух состояниях, то для поиска решения целевой функции необходимо использовать законы математических операций над двоичными числами.

Перевод чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления туда и обратно можно осуществлять с помощью поразрядового метода перевода чисел.

Для перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную:

  • 1) число от запятой вправо и влево разбивается на группы по 3 разряда (триады);
  • 2) недостающие разряды в дробной части числа дополняются нулями;
  • 3) каждая триада двоичных цифр заменяется одной восьмеричной цифрой в соответствии с таблицей перекодировки.

При обратном переводе каждая восьмеричная цифра заменяется тройкой двоичных цифр (триадой).

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления делается аналогично, но вместо триад используются тетрады — группы цифр по четыре разряда.

При обратном переводе каждая шестнадцатеричная цифра заменяется четверкой двоичных цифр (тетрадой).

Таблицы систем счисления

Десятичная

Двоичная тетрада

Двоично-десятичная тетрада

Двоично-восьмеричная

триада

Шестнадцате-

ричная

Старшая Младшая

Старшая Младшая

Старшая Младшая

10

1

128

64

32

16

8

4

2

1

80

40

20

10

8

4

2

1

4

2

1

4

2

1

16

1

10+1

10°

2+7

2

2+5

2+4

2+3

2+2

2+1

2+3

2+2

2+i

2+0

2+3

2+2

2+i

2+2

2+i

2+2

2+1

16+1

16°

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

d

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

2

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1 1

0

0

2

0

3

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

3

0

4

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

4

0

5

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

5

0

6

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

6

0

7

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

d

0

7

0

8

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

8

0

9

d

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

d

0

0

1

0

0

1

0

9

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

А

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

В

1

2

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

С

1

3

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

D

1

4

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

Е

1

5

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

d

0

F

1

6

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

Где d- основание системы счисления (количество используемых символов)

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1. Из двоичной системы в десятичную систему.

Пример: (10101)2.

  • • Записать исходное число с интервалами ?=> 10 10 1
  • • Под каждым символом исходного числа поставить вес позиционного места, записанного символами десятичной системы счисления ?=>
  • 16 8 4 2 1
  • • Найти сумму весовых эквивалентов позиционных мест исходного числа,

в которых записана «1» ?=> 16 0 4 0 1

Результат: 16 + 4+ 1 = 21.

2. Из десятичной системы в двоичную систему.

Пример: (21)ш.

• Записать числовой ряд весов позиционных мест двоичной системы счисления

до числа, вес которого больше исходного. ?=> 16 8 4 2 1

  • • Выделить символы, сумма которых равна исходному числу. ?=>
  • 16 4 1
  • • Использованным местам присвоить «1», неиспользованным —«0» ?=>
  • 10 10 1

Результат: 10101

3. Из шестнадцатеричной системы в двоичную систему.

Пример: 15.

  • • Записать исходное число с интервалами. >=>15
  • • Под каждым знакоместом поставить тетраду двоичного эквивалента. ?=>
  • 0001 0101
  • • Объединить символы в единое слово. ?=> 00010101

Результат: 10101

4. Из шестнадцатеричной системы в десятичную систему.

Пример: 15.

  • • Записать исходное число с интервалами. ?=> 1 5
  • • Под каждым символом исходного числа поставить вес позиционного места, записанного символами десятичной системы счисления >4>
  • 16 1
  • • Найти истинный вес каждой позиции умножением символа на вес места. ?=>
  • 1 * 16 5 1
  • • Сумма произведений будет равна искомому числу. ?=>

Результат: 16 + 5 = 21

5. 5. Из восьмеричной системы в двоичную.

Пример: (25)8

  • • Записать исходное число с интервалами. ==>2 5
  • • Под каждым знакоместом поставить триаду двоичного эквивалента ?=>
  • 010 101
  • • Объединить символы в единое слово ?=> 010101.

Результат: 10101.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >