Оптимальное использование пахотных земель

Математическая модель, к которой сводится транспортная задача, может использоваться в других областях практики, не имеющих никакого отношения к транспортировке чего-либо. Примером может служить задача оптимального использования пахотных земель, которая в общей постановке сводится к следующему:

Имеется некоторое количество (п) участков пахотной земли с известными площадями a; (i = 1,2, ..., п). Каждый из участков можно засеять различными культурами. Потребности в площадях (bj) под каждую из m культур известны. На каждом из участков известна также оценка эффективности его использования под каждую культуру (например, ожидаемая урожайность и, как следствие, прибыль). Другими словами, задана оценочная матрица Су — эффективность использования единицы площади i-ro участка под j-ю культуру. Если обозначить Ху — площадь i-ro участка, отведенную под j-ю культуру, то получаем суммарную оценку эффективности такого распределения площадей в виде

Требуется найти такое распределение пахотных земель, то есть вектор х с компонентами Ху > 0, при котором эффективность максимальна К(х)н>тах и выполнены все условия задачи, которые приводят к системе ограничений:

Первые п равенств означают, что каждый участок используется полностью, а следующие m равенств означают, что потребности в

площадях под каждую культуру удовлетворены. Получается задача, аналогичная транспортной, но требуется максимум, а не минимум целевой функции. Это отличие не является существенным. Так, начальное приближение можно строить по методу северо-западного (или еще какого-нибудь угла), а при вычислении потенциалов вместо условия оптимальности: псевдостоимости для свободных клеток не превосходят фактических стоимостей — придется брать обратное неравенство.

Рассмотрим конкретную задачу.

Имеются три участка земли, на которых могут быть засеяны пшеница, рожь, овес и ячмень. Площадь каждого из участков соответственно равна 600, 180 и 220 га. С учетом наличия семян пшеницей, рожью, овсом и ячменем следует соответственно засеять 290, 180, 110 и 420 га. Урожайность каждой из культур для каждого из участков различна, и эффективность использования площадей задается матрицей:

Величины су условно будем называть стоимостями по аналогии с транспортной задачей и вместо таблицы 3.2 получим таблицу 3.8. Начальное приближение получим, отправляясь не от северо-западного, а от юго-западного утла, чтобы использовать большую эффективность с^ = 50.

Таблица 3.8

Потенциалы получены из условий равенства псевдостоимостей фактическим стоимостям для базисных клеток оц + ⁼ 30;

+ Рз = 18; oci + (З4 = 24; 0С2 + Pi = 45; 0С2 + Р2 = 28 и аз + Pi = 50. Поскольку задача на максимум, для оптимального плана псевдостоимости не должны быть меньше фактических. Это условие нарушается только в клетке А2В3. Существует только один цикл пересчета (см. табл. 3.8). После пересчета получаем таблицу 3.9.

Таблица 3.9

Потенциалы для этой таблицы получены из условий

Псевдостоимости для всех свободных клеток больше, чем фактические стоимости. Следовательно, полученный план является оптимальным. Получается, что первый участок надо засеять рожью (180 га) и ячменем (420 га), второй участок — пшеницей (70 га) и овсом (110 га), а третий только пшеницей (220 га).

Интересно отметить, что начальное приближение, построенное по методу максимальных стоимостей, совпадает с оптимальным.