Практические задачи нелинейного программирования

Решение совместных систем линейных алгебраических уравнений

Для решения систем алгебраических уравнений известны различные методы. Однако при большом числе уравнений часто оказывается, что решение системы целесообразно организовать в виде итерационного процесса оптимизации. Если записать систему как Ах — b = 0, то поиск ее решения эквивалентен поиску точки минимума в задаче: найти min (Ах — Ь, Ах — Ь), то есть задачи минимизации суммы квадратов невязок в уравнениях системы. Это задача квадратического программирования без ограничений с матрицей квадратичной формы Q = АТА и линейной формой — 2(Ь, Ах).

В целом задача сводится к минимизации l/2(Qx, х) 1!), х), что может быть выполнено одним из методов безусловной минимизации, например, методом сопряженных градиентов. Для совместной системы минимум целевой функции очевидно равен нулю.

Если дополнительно известно, что исходная матрица А — симметричная положительно определенная, то целевая функция может быть записана в виде 1 /2(Ах, х) — (Ь, х), так как точка минимума этой функции х* удовлетворяет условию Ах* — b = 0. Это есть условие равенства нулю градиента квадратичной формы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >