Проектирование продольного профиля линейных сооружений

Эта задача рассматривалась в разд. 2.4.5 и 2.4.6 и сводилась к следующему.

По заданной ломаной линии H(s) найти такую ломаную Z(s), чтобы она удовлетворяла всем ограничениям и был

где Sq — длина трассы в плане, а функция F() моделирует затраты на элементе длины. Эта задача поиска одной функции H(s) по заданной другой функции Z(s) есть задача вариационного исчисления. Если известны абсциссы точек перелома проектной ломаной Z(s), она сводится к задаче нелинейного программирования, обладающей интересными особенностями независимо от конкретного вида функции F() [18].

Зная число и длины элементов (в плане) искомой ломаной, можно аналитически выразить все ограничения на Z(s), если принять в качестве неизвестных z, (i = 1, 2, ..., п) ее ординаты в точках перелома. Эти ограничения делятся на три группы.

  • 1. На ординаты в отдельных точках ъх < Zimax или ъх > Zjmin.
  • 2. На уклоны элементов профиля

Здесь Sj — длины элементов. Это ограничение является дискретным аналогом ограничения на первую производную.

3. На разности уклонов смежных элементов

Это ограничение является дискретным аналогом ограничения

на вторую производную.

Интеграл превращается в сумму интегралов по элементам профиля, и, поскольку на каждом i-м элементе аргумент подынтегральной функции F() полностью определяется переменными ъх и Zi+i, появляется возможность вычисления производных целевой функции по неизвестным Zj, то есть градиента.

Система ограничений имеет четко выраженную структуру. Именно эта структура рассмотрена нами в разд. 4.4.2.1, примеры 1, 4, 5. Там были даны формулы для вычисления проекции на соответствующие подпространства, определяемые активными ограничениями. Реально возможны и комбинации активных ограничений из этих трех групп. Например, на участке, где активны ограничения группы 2 (трасса идет предельным уклоном) одновременно активно одно ограничение группы 1 (нельзя изменить соответствующее Zj). Становится очевидным, что все компоненты проекции антиградиента для этого участка должны быть равны нулю. Действительно, ограничения по уклону (группа 2) делают все компоненты проекции равными друг другу (сдвиг), а высотное ограничение (группа 1) требует равенства соответствующей компоненты нулю (иначе изменится Zj и ограничение или будет нарушено или перестанет быть активным). Значит, и все компоненты проекции на этом участке равны нулю.

Далее, наличие одного активного ограничения группы 2 на участке, где активны все ограничения группы 3, приводит к тому, что все компоненты проекции на этом участке должны быть равны между собой. Только при этом условии сохранят активность все ограничения. Выясняется, что ограничения группы 2 для сохранения активности (то есть для построения проекции) допускают только изменение всех переменных на одну и ту же величину (сдвиг). Только при этом условии уклоны всех элементов остаются предельными. А ограничения на разность уклонов (группа 3), кроме сдвига, допускают еще и изменение всех уклонов на одну и ту же величину (поворот). Только при этих трансформациях проектной линии сохраняется разность уклонов. Именно эти изменения проектной линии при соответствующей комбинации активных ограничений находят отражение в структуре базисных векторов (см. разд. 4.4.2.1 и 4.4.2.2).

Возможны и более сложные комбинации активных ограничений. Например, два или более участков, на каждом из которых активны только ограничения по разности уклонов (группа 3), стыкуются в точках, в которых разность уклонов не достигает предельного значения. На рис. 4.20 такие участки АС, CD и DB схематически показаны как отрезки прямых.

Независимо от длины каждого из участков предельной разности уклонов, то есть от числа переменных, входящих в соответствующую систему активных ограничений, размерность нуль-пространства матрицы активных ограничений, то есть число базисных векторов, равно числу таких участков плюс 1 или иначе числу свободных точек, включая крайние. Матрица активных ограничений

Пример построения базисных векторов

Рис. 4.20. Пример построения базисных векторов

в данном случае состоит из трех блоков (по числу участков), каждый из которых трехдиагональный, так как в каждое нера- венств-ограничение входят только три смежных переменных (см. разд. 4.4.2.1, пример 5).

Схематически структура матрицы активных ограничений представлена на рис. 4.21. Элементы матрицы, отличные от нуля, обозначены точками, а блоки прямоугольниками. Все прочие элементы равны нулю. В пределах каждого блока при переходе к следующей строке происходит сдвиг положения ненулевых элементов вправо на 1, а при переходе к новому блоку — на 2.

Структура матрицы активных ограничений

Рис. 4.21. Структура матрицы активных ограничений

Базисные векторы будем выбирать так, чтобы каждый из них имел как можно больше нулевых компонент. Другими словами, будем стараться сделать так, чтобы движение вдоль базисного вектора затрагивало один или два участка.

Первый базисный вектор соответствует повороту участка АС с центром в точке С (рис. 4.20). Зная длины всех входящих в него элементов, легко вычислить угол поворота (приращение уклонов всех элементов), при котором смещение точки А равно 1. Изменением длин элементов при изменении их уклонов можно пренебречь из-за малости уклонов. Считается, что длина элементов в профиле и плане совпадают.

Пронумеруем длины элементов, входящих в рассматриваемый участок, начиная от центра поворота (si, S2, ..., s^). Приращение уклонов обозначим через 5. Тогда смещения концов элементов на данном участке, начиная от центра поворота, будут следующими.

Так каксмещение конечной точки участка поворота равно 1, то . Базисный вектор построен.

Второй базисный вектор соответствует такой комбинации двух поворотов с центрами в точках А и D, при которой смещение в точке С равно 1. Третий базисный вектор соответствует аналогичной комбинации поворотов с центрами в точках С и В и единичным смещением в точке D. Наконец, четвертый базисный вектор соответствует повороту с центром в точке В и единичным смещением в точке D. Знание базисных векторов позволяет построить проекцию градиента, решая систему уравнений малой размерности (по числу базисных векторов). В нашем примере участок может охватывать несколько десятков элементов, а базисных векторов всего четыре. Более того, знание базисных векторов позволяет вычислить приведенный градиент и вообще обойтись без решения системы линейных уравнений для поиска направления спуска и исключения ограничений из активного набора (см. разд. 4.4.2.2).

Структурные особенности системы ограничений позволили еще в 70-х годах создать и реализовать на маломощных с современных позиций ЭВМ, таких как Минск-32 и ЕС-1022, эффективный алгоритм решения задачи об оптимальном профиле дороги при числе переменных п = 200 и числе ограничений более 800. На современных далеко не самых мощных компьютерах (Pentium 2 с тактовой частотой 200 МГц) соответствующие программы решают задачу об оптимальном профиле дороги при числе переменных п = 1000 (больше в реальных задачах не требуется) и соответственно числе ограничений более 4000 за несколько минут, а на более мощных компьютерах менее чем за 1 минуту.

Аналогично были решены задачи проектирования продольного профиля других линейных объектов (автомобильные дороги, трубопроводы, оросительные каналы и др.). Подсистема проектирования продольного профиля была встроена в САПР линейных сооружений, что позволило автоматизировать целый комплекс проектных задач, а не только проектирования плана и профиля.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >