Проектирование оптимальных трасс линейных сооружений

Оптимизация трассы как пространственной кривой, то есть совместное проектирование плана и профиля, осложняется нелинейностью системы ограничений, отсутствием аналитического выражения затрат на строительство и эксплуатацию сооружения от тех или иных переменных, определяющих искомое проектное положение трассы, и целым рядом других факторов. Как уже отмечалось в разд. 2.4.5, трасса состоит из элементов заданного вида, удовлетворяющих ограничениям гладкости, но число этих элементов в общем случае неизвестно. Поэтому приходится использовать различные математические модели трассы и решать задачу в несколько этапов, также как и при проектировании продольного профиля по заданному варианту положения трассы в плане.

Рассмотрим задачу проектирования трассы одного из наиболее сложных линейных сооружений — участка новой железной дороги.

Будем рассматривать план и продольный профиль трассы как непрерывные линии, на которые наложены соответствующие ограничения гладкости (см. разд. 2.4.5). Каждую из этих кривых заменим ломаными линиями так, чтобы обеспечить достаточно точное представление трассы. Нетрудно вычислить как часто должны располагаться точки на круговой кривой (вершины ломаной), чтобы отклонение ломаной от кривой не превышало заданной величины d. При заданной длине хорды L максимальное отклонение будет при минимальном радиусе кривой R. Это отклонение составит

При L/2R << 1, что обычно имеет место, это отклонение приближенно равно L2/ (8R) и не должно превышать заданную величину d. Отсюда получаем L < V8Rd. Для реальных условий R > 200 м и при d = 1 м L < 40 м.

Искомые ломаные должны удовлетворять ограничениям, которые являются дискретными аналогами ограничений на план и продольный профиль трассы. Дополнительно будем предполагать, что заданы начальное положение трассы и полоса (в плане), в которой находится искомый оптимальный вариант. Другими словами, от перебора вариантов плана трассы с помощью проектирования продольного профиля по каждому варианту мы переходим к перебору полос в плане с одновременной оптимизацией плана и профиля в каждой из них.

Основной фактор, от которого зависит положение трассы и в плане и в профиле, — это рельеф земной поверхности. Цифровая модель рельефа задается следующим образом.

Начальное положение трассы в плане заменяется ломаной линией и в каждом ее узле задается нормаль (поперечник) (рис. 4.22).

Тем самым земная поверхность в полосе рассекается вертикальными плоскостями и в сечениях получаются поперечные про-

Задание рельефа и выбор переменных

Рис. 4.22. Задание рельефа и выбор переменных

фили земли. Эти профили также заменяются ломаными линиями и тем самым рельеф земли в полосе заменяется многогранной поверхностью. Каждый поперечник в плане также является ломаной линией. На рис. 4.22 тонкими линиями показаны горизонтали рельефа и поперечники, а жирной линией — план трассы. В каждом узле поперечника заданы отметки земли и тем самым вся цифровая модель рельефа на полосу варьирования (в плане).

В число поперечников включаются и линии водотоков.

Неизвестными являются:

  • — в плане Uj — смещения трассы на каждом поперечнике относительно начала поперечника (хоь yoi);
  • — в продольном профиле Hj — проектные отметки в точках пересечения поперечников.

Через неизвестные Uj и углы поперечников с осью ОХ вычисляются текущие декартовы координаты точек пересечения плана трассы и поперечников х,, у, и расстояния между этими точками. С помощью линейной интерполяции отметок земли в смежных узлах поперечника вычисляются отметки земли Z; в этих точках.

Ограничения в плане сводятся к ограничениям на переменные Uj вида Ujmjn < Uj < Ujmax и к ограничениям на радиус окружности, соединяющей три смежные точки (узла) плана. Декартовы координаты узлов плана выражаются через переменные Uj, следовательно, и ограничения по кривизне тоже выражаются через переменные Uj.

Ограничения на продольный профиль выражаются через переменные Uj и Н, («профильные» переменные). Всего было три типа ограничений на продольный профиль: высотные ограничения в отдельных точках, по уклону каждого элемента и по разности уклонов смежных элементов.

Поскольку отметки земли в узловых точках плана трассы линейно выражаются через Uj и заданные отметки на соответствующих узлах поперечника, ограничение первого типа имеет вид: Нimin ^ Hj < Hjmax, где величины Hjmin и Hjmax заданные числа, если ограничена проектная отметка, или линейно выражаются через и;, если ограничена рабочая отметка, то есть разность между проектной отметкой (Hj) и отметкой земли (Zj).

Ограничения по уклону j-ro элемента профиля можно записать как зх< (Hj+j — Hj)/ljj+i < bj, где ljj+i — длина j-го элемента в плане. Величины aj и bi, вообще говоря, зависят от кривизны в плане, которая, как и ljj+ь выражается через Uj — «плановые» переменные нелинейно.

Ограничения по разности уклонов в j-м узле трассы примут вид:

Для построения траектории спуска, то есть определения новых значений переменных на каждой итерации, нужно знать улучшающее направление, например, антиградиент. Характерно, что, не имея аналитического выражения целевой функции в рамках рассматриваемой математической модели, мы тем не менее можем вычислить частные производные целевой функции аналитически.

Затраты на строительство дороги зависят от объемов работ, которые в свою очередь зависят от площадей поперечных сечений земляного полотна и при заданных типовых конструкциях этих сечений в конечном итоге от рабочих отметок. Но, как уже отмечалось, рабочие отметки линейно зависят от неизвестных проектных отметок и смещений на поперечниках. Правда, при переходе от одного звена поперечника к другому его звену меняются коэффициенты этой зависимости, но принципиальная возможность вычисления производных от рабочих отметок по переменным щ остается, если прибегнуть к аппроксимации соответствующих ломаных поперечников земли гладкими функциями (см. рис. 4.18). Другие составляющие затрат зависят от уклонов в профиле и кривизны в плане, а также длины трассы. Но длины элементов, уклоны и кривизна аналитически выражены через «плановые» и, и «профильные» Hi переменные, поэтому, имея зависимости соответствующих составляющих затрат от рабочих отметок, уклонов, длин элементов и кривизны по правилу дифференцирования сложной функции, можно вычислить и производные целевой функции по принятым нами переменным щи Н,.

В рассмотренной в предыдущем разделе задаче проектирования продольного профиля при фиксированном плане трассы все ограничения были линейны и при произвольном наборе активных ограничений строились базисные векторы, соответствующие элементарным (базисным) смещениям, в качестве которых выбирались сдвиг и повороты относительно точек, ограничивающих участки предельной кривизны или фиксированных точек. Оказывается, эта идея представления смещений, сохраняющих значения кривизны, может быть использована и в случае нелинейных ограничений, то есть при проектировании трассы как пространственной кривой.

Искомая трасса определяется координатами точки в многомерном пространстве. Граница допустимой области представляет собой поверхность в этом пространстве. В отличие от многих известных методов решения задач с нелинейными ограничениями ставится цель поиска на каждой итерации таких движений (трансформаций трассы), которые не выводят за пределы допустимой области, то есть движение осуществляется не по прямой (в касательной плоскости), а по кривой непосредственно на граничной поверхности. Фактически речь идет о том, чтобы, оставаясь в пределах граничной многомерной поверхности, найти на ней такую линию, движение по которой уменьшает значение целевой функции, по крайней мере при малых смещениях. Идея поиска такой кривой состоит в том, чтобы, вычислив антиградиент и установив, какие ограничения активны (они определяют граничную поверхность, которая по аналогии с линейным случаем может иметь различную размерность), спроектировать антиградиент на касательную плоскость, но двигаться не по этой плоскости, а в пределах поверхности по линии, касательная к которой совпадает с проекцией антиградиента. Особенности системы ограничений, их простой геометрический смысл позволяют это сделать при любом активном наборе ограничений. Рассмотрим различные ситуации последовательно.

Пусть на некоторой итерации точки с i-й по i + m-ю лежат на кривой предельного радиуса. Необходимо найти такие изменения переменных и,, Uj+i, ..., Ui+m, при которых радиус кривизны остается предельным (рис. 4.23).

Пример базисного смещения (сдвиг + поворот)

Рис. 4.23. Пример базисного смещения (сдвиг + поворот)

Это означает, что кривая смещается как единое целое и любое ее смещение можно представить как комбинацию двух смещений, например, сдвиг вдоль некоторой прямой и поворот вокруг некоторого центра. В качестве прямой можно взять любой поперечник с номером i < г < i + ш, а за центр принять точку пересечения плана трассы и поперечника. Пусть ас — величина смещения, а срс — угол поворота. Через эти величины с использованием данных об ориентации поперечников и положения трассы (величин и^, i < k < i + m) вычисляются приращения Au^ (i < к < i + ш).

Если на окружности оказалась одна точка, у которой координата ur имеет минимальное или максимальное значение (такая точка называется фиксированной), то именно ее принимаем за центр поворота. Сдвиг равен нулю (ас = 0), и все смещения на поперечниках определяются только углом поворота. Если же таких точек на окружности две (и более), то все смещения равны нулю, так как радиус не изменяется.

В более сложных случаях две и более окружности предельных радиусов могут сопрягаться так, что в точке сопряжения радиус окружности, проведенной через три смежных точки, из которых средняя есть точка сопряжения, больше предельного. В этих случаях нельзя независимо определять смещения каждой окружности, так как в точках сопряжения эти смещения должны быть равны для двух окружностей. Более того, на окружностях могут попадаться фиксированные точки. Однако во всех случаях можно указать базисные смещения, комбинация которых дает любое смещение, не изменяющее (при достаточно малом шаге) набор активных ограничений.

При наличии двух смежных точек, в которых радиус кривизны непредельный, участки слева и справа при построении базисных смещений рассматриваются независимо. Далее, если в пределах одной кривой предельного радиуса оказалось две (или более) фиксированных точки, то вся кривая фиксируется, а ее начальная и конечная точки рассматриваются как фиксированные конец (начало) других участков, на которых поиск базисных смещений проводится с учетом этой фиксации.

Общее число степеней свободы, а следовательно, и базисных смещений равно ni П2 + 1, где nj — число кривых (дут окружностей), которые нельзя рассматривать независимо, П2 — число фиксированных точек, причем на каждой кривой не более одной фиксированной точки.

Выбор базисных смещений может быть различным. Так, даже для одной кривой вместо рассмотренных выше сдвига и поворота можно взять два поворота с различными центрами (например, концы кривой). Будем выбирать базисные смещения, сохраняющие предельную кривизну, следующим образом:

1. При отсутствии фиксированных точек. На первой кривой предельного радиуса (рис. 4.24, а) смещается первая точка вдоль соответствующего поперечника, а смещения остальных точек определяются так, чтобы в конечной точке кривой и за ее пределами смещение было равно нулю. Фактически это поворот первой кривой с центром в ее конечной точке.

На второй и всех следующих кривых, кроме последней, смещается начальная точка вдоль соответствующего поперечника, а смещения остальных точек определяются так, чтобы в крайних точках двух смежных кривых и за их пределами они были равны нулю (рис. 4.24, б, в). Это соответствует поворотам двух смежных кривых при условии равенства смещения точки их сопряжения по поперечнику в каждом из поворотов.

На последней кривой смещается конечная точка вдоль поперечника, а смещения всех остальных точек определяются так, чтобы начальная точка кривой и все точки за ее пределами были неподвижны (рис. 4.24, г).

~h — границы участков предельной кривизны.

Рис. 4.24 Примеры базисных смещений при отсутствии фиксированных точек

2. При наличии фиксированных точек. На первой из кривых, содержащей фиксированную точку, смещается первая нефиксированная граничная точка, а остальные смещаются так, чтобы фиксированная точка имела нулевое смещение (рис. 4.25). Если на смежных (с двух сторон) кривых нет фиксированных точек, то смещения их концов равны нулю, а если есть фиксированная точка, то ее смещение равно нулю и процесс продолжается (в обе стороны), пока не встретится кривая, на которой нет фиксированной точки (рис. 4.25, а), или конец участка (рис. 4.25, б, в).

При отсутствии фиксированных точек базисное смещение захватывает не более двух смежных кривых. А при наличии фиксированных точек базисное смещение может захватывать много кривых. В любом случае построение базисного смещения начинается

Примеры базисных смещений при наличии фиксированных точек

Рис. 4.25. Примеры базисных смещений при наличии фиксированных точек

со смещения одной точки по «своему» поперечнику; такие точки будем называть порождающими, так как смещения всех остальных вычисляются через это начальное смещение. В примерах на рис. 4.25 во всех случаях порождающей точкой было начало первой кривой, но базисные смещения различны из-за фиксированных точек. Вообще порождающими точками являются концы участков предельной кривизны, но каждая фиксированная точка «убивает» одну порождающую точку. Число базисных смещений равно числу порождающих точек, и все эти смещения независимы в том смысле, что ни одно из них нельзя представить как комбинацию остальных. Действительно, если точка порождает базисное смещение, то при смещениях, порождаемых остальными точками, ее смещение равно нулю. Зная смещения порождающих точек, можно вычислить и смещения всех остальных точек, так как в пределах каждой окружности предельного радиуса оказываются известными координаты двух точек:

  • — первая точка неподвижна. Это фиксированная точка (если она есть на данной окружности) или одна из крайних точек, если фиксированной точки нет;
  • — вторая точка имеет заданное смещение. Это порождающая точка либо начальная (конечная), если смещение передается от смежной окружности, содержащей фиксированную точку.

Сначала определяются координаты этих двух точек на поперечниках («плановые» координаты щ), а затем с использованием координат начала поперечника и его ориентации вычисляются их декартовы координаты. По координатам двух точек и радиусу определяются координаты центра окружности и далее координаты ее пересечения с поперечниками. Так вычисляются базисные смещения, которые являются аналогами базисных векторов в случае линейных ограничений.

Таким образом, все сводится к определению таких смещений порождающих точек, которые дают улучшающие смещения в пределах граничной поверхности.

Если взять линейную часть приращения координаты щ каждой точки на соответствующем поперечнике как функцию от смещения порождающей точки, то получим базисное смещение (вектор) в касательной плоскости. Таких векторов будет столько, сколько порождающих точек. Фактически каждый базисный вектор имеет своими компонентами частные производные соответствующего смещения по смещению порождающей точки. Учитывая, что смещение порождающей точки равно нулю при смещениях других порождающих точек, получаем систему линейно независимых векторов, то есть их можно принять за базис в касательном подпространстве. Таким образом получаем базисную матрицу С, столбцы которой есть базисные векторы. Каждый вектор — это «линеаризованное» базисное смещение, и его i-я компонента есть частная произодная смещения i-й точки по смещению соответствующей порождающей точки. Количество столбцов равно числу порождающих точек. Если из матрицы С вычеркнуть строки, соответствующие непорождающим точкам, то получится единичная матрица. Построенный базис можно дополнить до полного базиса в исходном пространстве следующим образом. Рассматриваем по очереди все активные ограничения. Для каждого из них строим смещение, которое нарушает одно и только одно рассматриваемое ограничение. На рис. 4.26 это ограничение в точке М на г-м поперечнике. Смещается точка, в которой хотим нарушить ограничение, как если бы она стала порождающей, а смещения всех остальных точек определяются так, чтобы все остальные ограничения не нарушались. Если эта точка фиксированная, то для нарушения ограничения по кривизне ее смещать нельзя, но достаточно взять ближайшую порождающую точку и то базисное смещение, которое ей соответствовало, оборвать в фиксированной точке (см. рис. 4.25).

Пример дополнительного базисного смещения

Рис. 4.26. Пример дополнительного базисного смещения

Ограничение по фиксации точки нарушается, если взять в качестве порождающей точки начало (конец) соответствующей кривой как порождающую точку и строить базисное смещение без учета фиксированной точки.

Характерно, что ничего кроме одного или нескольких поворотов при построении дополнительных базисных смещений, также как и основных базисных смещений, рассматривать не приходится. И все базисные векторы (основные и дополнительные), соответствующие ограничениям на план трассы, строятся по единой схеме.

Взаимосвязь угла поворота Да кривой предельного радиуса R относительно одной из своих точек и смещения порождающей точки на поперечнике Ди выражается формулой

Здесь 5 — угол между поперечником и радиусом кривой, а у — центральный угол (см. рис. 4.27). На этом рисунке радиус поворота — АВ, т. е. хорда исходной кривой. Центр поворота точка В. Угол поворота Да равен углу ABAj.

Как обычно при вычислении производных, пренебрегаем величинами второго и более высоких порядков малости. Считаем, что

К вычислению производных

Рис. 4.27. К вычислению производных

при повороте смещения точки А по дуге и по касательной (нормали к радиусу поворота, то есть к хорде АВ) совпадают. Это смещение AAi = АВ Да. Новое положение дуги АВ это AiB. Пересечение дуги Ai В с продолжением радиуса ОА происходит в точке С.

Вместо AjC берем AjQ (величину того же порядка) по нормали к АС, то есть по касательной к дуге АВ в точке А. Угол AiACj равен половине центрального угла АОВ. Смещение по направлению АС, если учитывать только величины первого порядка равно

Нас интересует смещение не по направлению ОА, а по поперечнику AD, который может иметь с ним угол 8. Это смещение Ди с точностью до величин первого порядка равно AQ/cos5. В итоге получаем и далее формулу 4.16. Производная

Заметим, что это производная смещения по любому поперечнику в пределах кривой, а не только смещения порождающей точки. Отсюда получаем и производную смещения Uj в произвольной j-й точке на соответствующем участке поворота по смещению и порождающей точки.

Эта производная не определена только при Sj = к/2 и при у = к. Первый случай означает, что j-й поперечник касается плана трассы, тогда как должен быть ортогонален ему. Практически этот случай не реален, однако при его появлении ничто не мешает скорректировать направление поперечника. Второй случай означает, что угол поворота равен ровно 180°. При углах больше 180° никаких дополнительных сложностей не возникает. Поэтому самый простой способ передвинуть поперечник в любую сторону по кривой и продолжить расчет.

Полученные формулы верны только при условии, что знак кривизны на кривой предельного радиуса в пределах базисного смещения не изменяется. Это условие может не выполняться, так как на данном этапе план трассы представлен в виде ломаной линии и углы поворота звеньев ламаной могут иметь предельные значения различных знаков (см. рис. 4.28).

Изменение знака кривизны

Рис. 4.28. Изменение знака кривизны

Звено АВ ломаной является хордой двух пересекающихся окружностей предельной кривизны, но разных знаков. Такие участки могут иметь место в пределах одного базисного смещения. Вместо формулы 4.17 используется формула 4.19.

Здесь L — расстояние от центра вращения до порождающей точки (радиус поворота), (р — угол между осью X и этим радиусом, |/ — угол между осью X и звеном ломаной, которое пересекает поперечник, (3 — угол между осью X и поперечником.

Формулу (4.19) можно использовать не только для порождающей точки, но и для любой j-й вершины ломаной в пределах базисного смещения, если взять относящиеся к ней величины радиуса поворота и углов. Поэтому для производной смещения произвольной вершины по смещению порождающей точки имеем:

Величины без индекса относятся к порождающей точке, а с индексом к j-й вершине ломаной, находящейся в пределах базисного смещения.

Формулы (4.18) и (4.20) дают возможность вычислить базисные векторы, как основные (столбцы матриы С), так и дополнительные (столбцы матрицы В), и применить рассмотренный выше метод базисных смещений для решения задач оптимизации плана трассы, в которых продольный профиль трассы однозначно определяется ее планом. Примером может служить трассирование участков, на которых трасса идет предельным уклоном (участки напряженного хода).

Значительно сложнее обстоит дело при поиске трассы как пространственной кривой, так как среди активных могут быть не только ограничения на план, но и «профильные» ограничения. Структура базисных векторов в этом случае усложняется. Возрастает также и количество различных комбинаций активных ограничений.

Однако в любом случае имеет место четкая структура активных ограничений, что и позволяет построить базисные смещения, а затем и базисные векторы и для этой задачи.

Границами участков, на которых направление спуска определяется независимо, являются такие точки, координаты которых (плановая — смещение по поперечнику и профильная — проектная отметка при пересечении поперечника) не входят ни в одно из активных ограничений.

Пусть на таком участке содержится п поперечников, т — число активных ограничений на план nmj- число активных ограничений на продольный профиль.

Рассмотрим структуру базисных векторов и соответственно базисных матриц С и В. Общее число базисных векторов в касательной плоскости равно числу оставшихся «степеней свободы», то есть (n — mi) + (п — m2).

Первая группа базисных векторов соответствует изменению плана и соответствующим им изменениям профиля, таким, что все активные ограничения (и на план и на профиль) остаются активными. Дело в том, что при изменении плана меняются длины его элементов, которые входят в профильные ограничения, и поэтому при изменениях плана приходится менять профиль, чтобы не нарушались активные профильные ограничения.

Вторая группа базисных векторов соответствует изменению профиля при неизменном плане. Эти изменения профиля должны сохранять множество активных ограничений. Мы можем менять профильные переменные (проектные отметки) не изменяя план, но менять их надо с сохранением активных ограничений.

Базисный вектор имеет 2п компонент (первые п соответствуют плановым переменным, а вторые п профильным).

Начнем со второй группы базисных векторов. Первые п компонент равны нулю, так как план не изменяется. Вторые п компонент это базисные векторы, построенные ранее при рассмотрении задачи проектирования продольного профиля при заданном плане трассы (см. разд. 4.8.5). Особенность только в том, что активными могут быть профильные ограничения не во всех точках рассматриваемого участка независимого построения базисных векторов. Если координата некоторой точки не входит ни в одно активное профильное ограничение, то должен быть среди базисных вектор, у которого все компоненты нули, кроме одной компоненты, равной единице. Пусть, например, кординаты первых lq точек не входят в активные профильные ограничения (свободные точки), далее кг точек не являются свободными и последние lq точек снова свободные. Очевидно, к + кг + lq = п. В этом случае первые к[ базисных векторов образуют матрицу из к столбцов и 2п строк:

Здесь и далее Е — единичная матрица.

Число активных профильных ограничений у нас nq, поэтому для участка, захватывающего следующие lq точек базисных векторов будет lq — nq. Эти базисные векторы имеют только lq ненулевых компонент, так как они соответствуют изменению профильных координат только lq точек. Их структура зависит от того, какие именно ограничения активны (по уклонам, разностям уклонам или проектным отметкам). Если бы рассматривалась задача проектирования профиля при заданном плане, то при построении базисных векторов учитывались бы только эти lq точек и была бы построена базисная матрица, которую обозначим Аг. В целом lq — m2 базисных вектора для участка из кг точек образуют матрицу из кг — nq столбцов следующей структуры.

Наконец, последние кз базисных векторов являются столбцами следующей матрицы

В результате для рассматриваемого случая базисная матрица в целом имеет вид

Матрицу С2 будем называть базисной матрицей профиля. Величины ki и кз могут быть равны нулю и тогда С2 = Аг-

Тем самым мы свели построение второй группы базисных векторов к рассмотренному выше случаю проектирования продольного профиля при фиксированном плане трассы, то есть к построению матрицы Аг.

Первая группа базисных векторов (изменение плана и вынуждаемые им изменения профиля для сохранения набора активных ограничений) также имеет структуру, а именно: их первые п компонент соответствуют базису ограничений на план трассы (базис плана по аналогии с базисом профиля). Соответствующая матрица также состоит из блоков. Эти блоки представляют собой нулевые или единичные матрицы (при наличии свободных точек в плане), а также обязательно имеется блок Аь который соответствует базисной матрице плана, построенной без учета профильных переменных.

Последние п компонент базисных векторов первой группы соответствуют изменениям профильных переменных, которые должны компенсировать влияние изменения длин элементов (из-за изменения плана) так, чтобы все активные профильные ограничения остались активными. Эти последние компоненты образуют некоторую матрицу С3.

Общая структура базисной матрицы С при наличии т активных ограничений на план и m2 активных ограничений на профиль следующая

Итак, матрицы Qh С2 фактически определяются базисными векторами ограничений на план и профиль, если эти ограничения и соответствующие переменные рассматривать независимо, то есть не учитывать взаимосвязь плана и профиля.

Теперь предстоит дополнительно разобраться с построением матрицы С3, которая и учитывает эту взаимосвязь.

Число столбцов матрицы С3 равно числу порождающих точек в плане. Возьмем произвольный из них с номером j, то есть некоторую порождающую точку. В частности, это может быть и свободная (по плановым ограничениям точка). Способ выбора порождающих точек рассматривался выше. Мы умеем строить базис плана, следовательно, знаем производные от плановых координат по смещению порождающей точки. Это и есть j-й столбец матрицы Ci. А в этом же столбце матрицы С3 стоят производные профильных координат (проектных отметок на пересечениях с поперечниками) по смещению той же порождающей точки в плане. Эти производные не обязаны равняться нулю, так как изменение плановых координат может изменять длины элементов в плане (как уже отмечалось) и, как следствие, уклоны элементов профиля, разности уклонов смежных элементов и рабочие отметки даже при неизменных проектных отметках. Элементы j-ro столбца матрицы С3 соответствуют таким изменениям проектных отметок, которые сохраняют предельными все предельные уклоны, разности уклонов смежных элементов и рабочие отметки при заданном смещении j-й порождающей точки в плане.

Рассмотрим способ вычисления элементов j-ro столбца матрицы С3 для произвольного набора активных профильных ограничений.

Сначала не будем учитывать высотные ограничения, предполагая, что они неактивны.

Сохранение всех уклонов путем соответствующих изменений проектных отметок обеспечит нам сохранение не только предельных уклонов, но и всех предельных разностей уклонов. Пусть смещение порождающей точки привело к изменению длины первого элемента на рассматриваемом участке I12 на 51i2- Уклон проектной линии на этом элементе был (Н2 — Hi)/ 1^. Как изменить Н2 и Hi, чтобы уклон сохранил свое значение? Это можно сделать так: Hi не изменяем, а Н2 даем приращение

Новое значение уклона

то есть старому значению.

Приращение 8Н3 должно быть равно

и так далее.

Отсюда имеем искомые производные

г = 2, 3, ..., р. Считаем, что на участке, охватывающем j-e базисное смещение, точки пронуменованы от 1 до р.

Длина элемента между произвольными i-1 и i-м поперечниками зависит только от смещений его концов Uj_i и щ. Поэтому

Производные 5uj_ i/5uj и 5uj/8uj это соответствующие элементы j-ro столбца матрицы Q, т. е. базисного вектора плана.

Производные 51}_i j/Suj.i и 81j_i /бц вычисляются из формулы, связывающей декартовы координаты начальных точек поперечников (хом, yoi-ь хоь yoi), смещений на поперечниках (iij_i,Uj), их углы с осью OX (

I

Полученные формулы позволяют вычислить элементы произвольного столбца матрицы С3 при условии, что среди активных профильных ограничений нет высотных ограничений.

Переходим теперь к рассмотрению высотных ограничений. Если среди активных содержатся только ограничения на рабочие отметки то вопрос решается просто, так как h{ = Н, — Zj, где Zj — отметка земли, и для сохранения величины hj необходимо и достаточно взять 8Н4 = SZ,. Следовательно,

Здесь Yi — уклон земли на i-м поперечнике, a Suj/Suj есть элемент базисного вектора плана, соответствующего рассматриваемой j-й порождающей точке.

Если ограничена не рабочая, а проектная отметка и это ограничение активно, то 8Hj/8uj = 0.

Пусть, далее, высотное ограничение накладывается на рабочую отметку в точке, принадлежащей участку профиля, на котором требуется сохранить все уклоны. Ранее при рассмотрении задачи проектирования продольного профиля такой участок назывался участком сдвига. Теперь сдвиг возможен не только по вертикали (ось Н), но и по горизонтали (ось L), так как меняются длины элементов, а продольный профиль это зависимость проектной отметки от длины в плане. На участке сдвига или все уклоны имеют предельное значение, или есть хотя бы один предельный уклон и во всех точках перелома разности уклонов имеют предельное зна- чениу. Участки, на которых все уклоны меняются на одну и ту же величину, будем по-прежнему называть участками поворота (на этих участках активны ограничения по разности уклонов и, возможно, высотные ограничения, но уклоны непредельны).

Наличие активного высотного ограничения на участке сдвига при проектировании профиля при заданном плане приводило к нулевому смещению. Теперь же при варьировании в плане это не так из-за изменения отметок земли и длин элементов.

При наличии ограничения на рабочую отметку для вычисления соответствующего базисного вектора поступаем следующим образом.

  • 1. Полагаем 8Hj = 0. (проектную отметку в начале участка не меняем).
  • 2. Вычисляем SHj/Suj из условия сохранения уклонов (формулы 4.21 и 4.22).
  • 3. Вычисляем разность s = SZj/Suj — SHj/SUj и вместо 8Н] = 0 берем SHi = s 8uj.
  • 4. Ко всем производным 8Hr/8uj прибавляем s. Это означает, что вариация в профиле соответствует сохранению всех уклонов плюс изменение всех проектных отметок на участке соответствующего смещения в плане на одну и ту же величину, то есть сдвиг и по горизонтали и по вертикали (рис. 4.29).

Если на участке сдвига в точке с номером к активное высотное ограничение наложено не на рабочую, а на проектную отметку, то должно быть SHk/Suj = 0 (вместо 8Hi/8uj = 0), и поэтому из всех производных, вычисленных по формуле 4.21, при условии, что SHi = 0, вычитаем SH^/Suj, вычисленную при том же условии.

Вариация профиля на участке сдвига

Рис. 4.29. Вариация профиля на участке сдвига.

Н2~предельная отметка

Если на участке сдвига имеется две или более точек, в которых активны высотные ограничения, то этому участку соответствует нулевое смещение (в плане), кроме случая, при котором базисный вектор, построенный при рассмотрении первого высотного ограничения, имеет нулевые элементы, соответствующие оставшимся высотным ограничениям (если ограничены проектные отметки) или эти элементы равны производным отметок земли по смещению соответствующей порождающей точки. Практически такая ситуация может встречаться крайне редко. Наличие трех и более активных высотных ограничений на участке сдвига соответствует случаю вырожденное™. В этом случае можно изменить правую часть соответствующего неравенства на малую величину так, чтобы ограничение не было нарушенным, но перестало быть активным (е-метод).

На участках поворота при отсутствии активных высотных ограничений или при наличии только одного из них базисный вектор можно строить точно так же, как и на участках сдвига, так как если не изменяются уклоны, то не изменяются и их разности. При налинии двух активных высотных ограничений на участке поворота можно скорректировать базисный вектор, построенный как и ранее при учете только первого высотного ограничения с помощью дополнительного поворота, так чтобы компенсировать нарушение второго ограничения. При наличии трех активных высотных ограничений участок не получает смещений в плане, за исключением случаев, при которых соответствующие элементы базисного вектора, построенного с учетом только двух таких ограничений, имеют нужные значения (при ограничениях на проектные отметки это нули, а при ограничениях на рабочие отметки это производные отметок земли по смещению соответствующей порождающей точки). Четыре и более активных высотных ограничения на участке поворота означают вырожденность. Если имеем два и более участков поворота, сопрягаемых без использования предельной разности уклонов, то для первого из них элементы базисного вектора строятся так, как если бы второго участка не было вообще, а построение оставшихся элементов производится при уже известной производной начальной отметки по смещению порождающей точки.

Заметим, что в плане на некотором участке может и не быть активных ограничений, но на этом же участке есть активные профильные ограничения. В этом случае для свободного по плановым ограничениям участка матрица Q является единичной и ее соответствующий столбец содержит единицу в строке, соответствующей номеру поперечника, остальные элементы столбца нули.

Возможны и более сложные комбинации активных ограничений в профиле. Но подобно тому как при проектировании профиля при фиксированном плане удалось построить базис для произвольного набора активных ограничений, можно построить базис, соответствующий смещению порождающей точки (базисному смещению в плане) при произвольном наборе активных высотных ограничений в профиле. В сложных случаях для этого приходится решать систему двух линейных уравнений.

Поскольку данный пример здесь рассматривается прежде всего для того, чтобы показать, что если математическая модель правильно отражает реальность, то физический смысл задачи может подсказать существенные упрощения алгоритмов оптимизации, и создать программное обеспечение, оставаясь в рамках математически обоснованных методов, мы не будем приводить дальнейшие выкладки.

Важно отметить, что можно построить не только базисную матрицу С, соответствующую активным ограничениям (базис в граничном многообразии), но и базисную матрицу В в дополнительном пространстве.

Действительно, каждый столбец этой матрицы соответствует нарушению только одного из активных ограничений. Если это ограничение профильное, то построение соответствующего базисного вектора уже рассматривалось в разд. 4.4.2.2. Если же это ограничение на план трассы, то соответствующее ему базисное смещение построить достаточно просто, так как имеются только ограничения на кривизну (аналог ограничений на разность уклонов смежных элементов) и на координаты отдельных точек (аналог высотных ограничений). Построение таких дополнительных смещение рассмотрено выше в этом разделе.

Структура базисной матрицы В дополнительного пространства аналогична структуре базисной матрицы граничного многообразия — С.

Здесь, как и ранее, п — число переменных плана и профиля, mi и Ш2 число активных ограничений в плане и профиле соответственно.

Матрица В2 соответствует базису в дополнительном пространстве, определяемом ограничениями на профиль, а матрица В] — на план. В3 учитывет взаимосвязь плана и профиля и строится полностью аналогично матрице С3.

В целом матрица перехода к новому базису имеет вид

Наличие этой матрицы позволяет в полной мере использовать рассмотренные выше методы оптимизации для решения задачи первого этапа — совместного проектирования плана и профиля в виде ломаных с большим числом элементов.

Результат этого этапа используется на втором этапе для определения числа элементов плана и профиля. В действующих САПР железных дорог для этого использовались алгоритмы последовательного подбора с возвратами при невозможности построить очередной элемент.

Для проектирования продольного профиля на втором этапе реализован алгоритм динамического программирования как алгоритм аппроксимации плоской кривой при наличии ограничений (см. разд. 2.4.6).

Для проектирования плана трассы на втором этапе также может использоваться динамическое программирование, так как в разд. 2.4.6 показано, как выполнять аппроксимацию с использованием отрезков прямых и дуг окружностей. Некоторым осложнением является наличие переходных кривых (клотоид), однако эти клотоиды могут быть вписаны после преобразования плана трассы в последовательность прямых и дуг окружностей. Возникающие отклонения невелики с учетом того, что второй этап нужен только для определения числа элементов плана и начального приближения для оптимизации положения трассы при фиксированном числе элементов в плане и в профиле. Более того, преобразование второго этапа может выполняться и с включением в аппроксимирующую последовательность элементов дуг клотоид, если это преобразование выполнять с использованием угловой диаграммы (зависимости угла поворота от длины). На этой диаграмме прямой в плане соответствует горизонтальная прямая, окружности — наклонная прямая и клотоиде парабола второй степени. Здесь в полной мере можно использовать алгоритм кусочно-квадратичной аппроксимации при наличии ограничений. Эта же задача преобразования плана трассы в виде ломаной в последовательность элементов прямая — клотоида — окружность — клотоида — прямая и т. д. возникает при проектировании реконструкции ж.д.

Третий этап совместного проектирования плана и профиля — это оптимизация трассы, полученной на втором этапе при известном числе элементов.

Исходные данные и математическая модель условий проектирования (рельеф, геология, гидрология и др.) те же, что и на первом этапе. Все сводится к заданию поперечников и привязке к ним другой необходимой информации (набор типовых конструкций поперечных профилей земляного полотна, единичные затраты на земляные работы, градиенты затрат на искусственные соружения, ограничения и др.) Но неизвестными в плане теперь считаем не смещения по поперечникам, а длины элементов плана: lni — длины прямых, lnKj — длины клотоид и 1к* — длины круговых кривых. Если не фиксировать уклон отвода возвышения наружного рельса в кривых, то приходится в число переменных включить и кривизну каждой круговой кривой. Профильные переменные оставим старые, то есть проектные отметки на поперечниках, и тем самым сохраняем представление профиля в виде ломаной с короткими элементами. Представление профиля в виде ломаной, длины элементов которой не меньше заданных минимальных значений и изменяются в процессе совместного проектирования плана и профиля, существенно осложняет задачу, так как высотные ограничения привязаны к поперечникам (как правило, это линии водотоков), а границы элементов профиля не совпадают с пересечениями плана и поперечников.

Смещения на поперечниках Uj остаются как промежуточные переменные. Как и на первом этапе, вычисляем производные целевой функции по Uj и Hj. Теперь от переменных Uj необходимо перейти к новым переменным (длинам элементов и кривизнам). Покажем, как осуществляется этот переход. У нас нет формул, связывающих смещения на поперечниках Uj и новые переменные, а предстоит вычислить производные uj по новым переменным, чтобы затем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть изменяемой переменной является длина прямой вставки lni, ее приращение 51п,, а все остальные переменные плана не изменяются. Нам нужна частная производная 5Uj/51ni и, следовательно, приращение 81пь вызванное приращением 5uj. Очевидно, это приращение равно нулю для всех поперечников, расположенных ближе к началу участка, чем конец рассматриваемой прямой вставки.

Увеличение длины прямой вставки на 51ni вызывает сдвиг всей последующей трассы в направлений этой прямой на 81nj. Для вычисления 8uj/81ni существенное значение имеет положение элемента трассы, который пересекает j-й поперечник. Если этот элемент прямая, угол которой с осью X равен ап, угол поперечника с осью X равен pj, а угол варьируемой прямой с осью X равен оц, то для интересующей нас производной получаем формулу (рис. 4.30). К вычислению производной buj/bli при сдвиге

Рис. 4.30. К вычислению производной buj/blni при сдвиге

Если точка пересечения j-ro поперечника лежит на кривой, то ап — угол с осью X касательной к этой кривой в точке пересечения с поперечником и формула (4.25) остается без изменений.

Пусть теперь изменяется только длина круговой кривой lKi на 81Kj. При этом имеет место более сложная вариация последующего участка трассы: сдвиг на 51Kj в направлении касательной в конце варьруемой кривой (угол касательной с осью X обозначим aKj) и поворот на угол 8aKi. Центр поворота совпадает с концом варьируемой кривой, а угол поворота = Ык[ Gj, где Gj — кривизна кривой. Сдвиг учитывается по формуле 4.25, а для вычисления 5u/8aKi поступаем следующим образом (рис. 4.31).

  • 1. Определяем радиус поворота RA = АВ — расстояние точки пересечения плана трассы и j-oro поперечника (точка В) от центра поворота (точка А) по известным декартовым координатам точек А и В и угол ад прямой АВ с осью X.
  • 2. Приращение 5uj представляем в виде суммы 5uj = 8|Uj + 62Uj. Где 5iUj = ВВ] вызвано поворотом точки В вокруг точки А (она переходит в точку С) и параллельным смещением всей оставшейся трассы в точку С. ВС = RA 8aKj, если не учитывать величины более высоких порядков малости по сравнению с ВС. Поскольку мы хотим вычислить производные, то при малых углах поворота длины хорды, дуги и касательной являются величинами одного порядка. 52Uj = В1В2 — вызвано поворотом вокруг точки С и имеет более высокий порядок малости, чем 5iUj.
  • 3. SjUj вычисляем как и ранее, то есть учитываем сдвиг на величину RA 8aKj в направлении по нормали к АВ. Это направление составляет с осью X угол к/2 + ад. По формуле 4.25
К вычислению производной Suj/Sai

Рис. 4.31. К вычислению производной Suj/SaKi

В итоге искомая производная

Здесь учтено, что

Несколько сложнее вычисление производных, если меняется кривизна или длина клотоиды, но в любом случае, не имея аналитических зависимостей смещений на поперечниках от длин элементов плана и кривизн круговых кривых, получаем точные значения производных исключительно из геометрии. Тем самым появляется возможность работы с новыми переменными, определяющими план трассы.

Ограничения на эти переменные записываются очень просто в виде линейных неравенств, каждое из которых содержит одну переменную. Однако ограничения на смещения в плане и выход в конечную точку теперь приходится учитывать с помощью штрафных функций.

Базисная матрица С имеет ту же структуру, что и на первом этапе. Упрощение состоит в том, что матрица Cj всегда содержит в каждом столбце только один элемент, равный единице, а остальные элементы равны нулю, но это не обязательно единичная матрица, так как если активно некоторое ограничение на плановую переменную, например = lmjn, и это ограничение нельзя исключить из активного набора, то соответствующая компонента вектора спуска должна быть равна нулю. Нулевой столбец в матрицу Q не записывается, но в ней появляется нулевая строка.

Матрица С2 точно такая же, что и на первом этапе (базис профиля). Матрица С3, которая учитывает влияние смещений в плане на компенсирующие сдвиги в профиле для сохранения набора активных профильных ограничений, строится по аналогии с первым этапом.

Рассмотрим структуру произвольного столбца С3. Этот столбец задает такое изменение проектных отметок на поперечниках Нь которое сохраняет множество активных ограничений в профиле при изменении длины элемента Lj (это может быть длина прямой, окружности или клотоиды). Возможно также и изменение кривизны, если она включена в число переменных. Если на участке независимого построения базисной матрицы справа от варьируемого элемента плана нет активных профильных ограничений, то соответствующий столбец С3 нулевой, в противном случае все зависит от конкретного набора активных ограничений.

Если в профиле на некотором участке требуется сохранить уклоны элементов (участок сдвига), то получаем формулу, аналогичную 4.21, но вместо производных длин расстояний между точками пересечения поперечников по смещению порождающей точки используются производные тех же величин по длине варьируемого элемента.

Далее

Производные от смещений на поперечниках по длинам элементов вычислялись еще при вычислении градиента целевой функции.

Все остальные комбинации активных ограничений в профиле рассматриваются так же, как и на первом этапе (представление плана трассы в виде ломаной). Действительно, изменение любой плановой переменной приводит к смещению трассы на поперечниках и остается только пересчитать производные по этим смещениям в производные по тем или иным переменным, определяющим план.

Базисные векторы в дополнительном пространстве строятся аналогично первому этапу.

Изложенный способ построения базисных векторов в граничной гиперплоскости и в ее дополнении (матрицы С и В) для любого набора активных ограничений позволяет на каждой итерации найти не только направление спуска, но и отбросить несущественные на данной итерации ограничения.

После оптимизации трассы, план которой представлен последовательностью элементов, может быть выполнено преобразование профиля к ломаной с длинами элементов не менее заданных величин и оптимизация профиля при фиксироввнном плане.

Использование рассмотренных этапов оптимизации зависит от конкретной проектной задачи. Если выполняется оптимизация нескольких начальных вариантов плана трассы (сравнение полос варьирования), то может оказаться, что различия по целевой функции столь велики, что достаточно первого этапа и переход от представления плана трассы в виде ломаной к последовательности элементов заданного вида нужен только для лучшего варианта.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >