Модель Вильсона управления производственным запасом с учетом спроса и цен на продукцию

Оптимальный план поставок

В работе любой фирмы может возникнуть необходимость использовать склад для хранения своей продукции. При этом возникают затраты на хранение и доставку продукции на склад.

Предположим, что продукция изымается со склада равномерно с интенсивностью ц. На практике величина ц может быть легко получена опытным путем, если определить количество востребованных единиц товара за некоторый выбранный интервал времени, например, за день или за час.

Плату за хранение единицы продукции на складе обозначим через s. Эта величина оговаривается при заключении договора аренды этого склада.

Предположим, что плата за доставку одной партии товара на склад не зависит от размера этой партии, и обозначим ее g. Независимость от размера поставки означает, что фирме придется платить за использование грузовика независимо от того, насколько он загружен.

Таким образом, мы имеем три входных параметра модели:

ц — интенсивность изъятия продукции;

5 — плата за хранение единицы продукции;

g — плата за доставку одной партии.

Прибавим к ним Т— время, за которое мы рассматриваем работу склада.

Наша задача: определить оптимальный график (план) поставок на склад, т. е. определить оптимальное количество поставок я*(7), оптимальный промежуток времени между поставками и оптимальные размеры поставок t*i+ - /*,• = А/*,.

Обозначим запас товара на складе в момент времени t через y{t).

Получим функцию от времени, тогда работу на складе можно изобразить рисунком (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Здесь п(Т) = 3 — поставки, которые осуществляются в моменты

to, t, ti-

Размеры поставок соответственно равны При этом

Утверждение 1.1. Средние издержки за время Т равны

Доказательство. Общие издержки эксплуатации склада складываются из затрат на хранение и затрат на доставку.

Затраты на доставку равны значению n{T)g. Затраты на хранение продукции постоянного объема у на интервале At/ равны значению sy А и.

Разобьем интервал от 0 до Т на к малых интервалов [at, ai+{ е е [О, 7].

Внутри каждого интервала рассмотрим момент времени т, е е [ah ai+[] и будем предполагать, что на всем интервале [я„ ai+{ количество товара на складе было у(тг), тогда общие затраты на хранение на всем интервале [0, 7] можно представить как

При дальнейшем измельчении интервала [0, 7], т. е. при увеличении числа к, данная сумма будет стремиться к интегралу из формулы (1.20):

Далее общие издержки необходимо усреднить, т. е. поделить на величину Т, и получим формулу (1.20).

Таким образом, наша задача свелась к тому, чтобы определить план поставок, для которого значение выражения (1.20) было бы минимальным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Задание моментов прихода поставок и их величин полностью определяет функцию y{t), и наоборот. И то и другое будем называть планом.

S ТЕОРЕМА 1.1. Для любого периода времени Т существует такой оптимальный план, на котором значение выражения (1.20) достигает минимума.

Этот план называется планом Вильсона и описывается так: все интервалы между поставками одинаковы, все размеры поставок одинаковы, и очередная поставка завозится в тот момент, когда на складе уже нет товара (рис. 1.2).

Тогда

Рис. 1.2

>

Доказательство.

1. Покажем прежде всего, что план, в котором поставки осуществляются при ненулевом запасе на складе, может быть легко улучшен. Называемый план имеет вид (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Выберем I поставку, которая осуществляется не на пустой склад (на рис. 1.3 — это поставка Q).

Уменьшим предельную поставку Qq на величину невостребованного запаса y{t -i) > 0, тогда I поставка увеличится на эту величину («елочку») (чтобы не было дефицита).

То же самое произведем с I поставкой, уменьшив ее на величину невостребованного запаса в момент II поставки; тем самым величина Q2 увеличится и т. д., если есть еще поставки (увеличение Q2 необходимо, чтобы не допустить наличия дефицита).

Полученный пунктирный план содержит такое же количество поставок, такое же общее количество поставленной продукции, но при этом доставляет меньшие затраты, так как область площади под кривой y{t) очевидно меньше, чем в исходном плане, т. е. интеграл из выражения (1.20) будет принимать меньшее значение.

Таким образом, мы доказали, что оптимальный план нужно искать среди таких планов, в которых очередная поставка осуществляется на пустой склад.

2. У планов, в которых поставки приходят при нулевом запасе, площадь фигуры под графиком — это объединение площадей прямоугольных треугольников.

Площадь каждого треугольника может быть вычислена как

Следовательно, затраты на хранение на интервале времени от 0 до Т будут равны величине

Положим величину каждого интервала

где п(Т) будем считать фиксированным, а — это величина каждого интервала, если бы все они были одинаковыми, я, — отклонение данного интервала от величины А/,-.

Например, если п(Т) = 3, Т= 9, поставки осуществляются в моменты времени: 0, 5, 8, то , поэтому

Тогда я, > 0, если данный интервал превышает средние издержки; щ < 0, если данный интервал меньше средних издержек.

Заметим, что сумма всех я,-, т. е. я<> + <* + <*2 + ??? + ^Цт)- ь всегда равна 0:

что и требовалось доказать.

Перепишем затраты на хранение через я,.

Получим

Это выражение принимает минимальное значение (минимальные затраты на хранение) при т. е. в том случае,

если все интервалы между собой равны и равны значению

В этом случае размеры поставок также получаются равными между собой, и они равны: , где р — тангенс угла наклона

прямой к оси ОХ.

3. Мы доказали, что в оптимальном плане все поставки равны между собой.

Теперь не будем фиксировать число поставок п(Т) и определим оптимальный размер поставки Q и количество поставок п(Т).

Рассмотрим 2 случая: а) в интервале Т — целое число поставок;

  • б) в момент времени Т на складе — ненулевой запас товара.
  • а) В интервале Т помещается целое число поставок, т. е. последняя поставка заканчивается в момент времени Т.

В этом случае можем записать формулу

где слева — количество товара, привезенного на склад за время Т, а справа — количество товара, ушедшее со склада за время Т.

Используя формулу (1.22), продолжим выкладку для затрат на хранение товара.

Затраты на хранение товара в оптимальном плане равны [из

(1.21)]:

Тогда общие затраты, усредненные на величину интервала Т, имеют вид

Данная формула обозначает затраты на эксплуатацию склада в оптимальном плане для случая целого числа поставок п(Т).

Минимум издержек достигается при объеме поставок, равном

б) Возникает этот случай, если значение , где Qo вычислено

по формуле квадратного корня, не является целым числом, т. е. в момент времени Т на складе остается ненулевой запас товара.

В этом случае можно заметить, что следовательно, если обозначить то

Из формулы для выражения средних издержек /Ну) через количество поставок п(Т) видно, что средние издержки являются выпуклой вниз функцией, т. е. достигают минимума в точке Q0, соответствующей оптимальному количеству поставок п(Т); так как ближайшими значениями к Qq из допустимых целых являются Q и Q2, то минимум достигается в одной из этих точек.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >