МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ

Описание дискретных сигналов в частотной области. Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов

Подобно описанию линейных дискретных систем, дискретные сигналы описываются в трех областях: временной, частотной и г-области.

Во временной области дискретный сигнал описывается последовательностью x(tn) = х(п • А), где А - интервал дискретизации.

В z -области дискретный сигнал описывается своим z -изображением X (z), которое определяется с помощью Z -преобразования

По известному г-изображению сигнал x{tn) находится с помощью обратного Z -преобразования.

В частотной области дискретный сигнал x(tn) описывается своим фурье- изображением X (jco), которое определяется с помощью преобразования Фурье

Фурье-изображение X(jco) дискретного сигнала называют его комплексным спектром (спектром).

По известному спектру X{jco) сигнал x(tn) находится с помощью обратного преобразования Фурье

Комплексную функцию X{jco) можно выразить через ее модуль и аргумент

Модуль А(со) называют амплитудным спектром, а аргумент ф(&>) - фазовым спектром дискретного сигнала.

Перечислим основные свойства спектров дискретных сигналов:

1. Непрерывность.

Спектр X(jco), а также его модуль и аргумент - непрерывные (или кусочно-непрерывные) функции частоты по определению.

2. Периодичность.

Спектр X(jco), а также его модуль и аргумент- периодические функции частоты с периодом, равным частоте дискретизации соД = 2л-/А.

Часть спектра, расположенная в основной полосе частот, называется основным спектром.

1. Спектр вещественного сигнала.

Если x(tn) - вещественный сигнал, то модуль его спектра - четная функция частоты, а аргумент - нечетная: А(со)=А(- со), Ф(со)=-Ф(- со).

2. Линейность.

Если дискретный сигнал x(tn) равен линейной комбинации сигналов x(tn) = аххх(tn) + а2х2(tn) + ..., то его спектр X(jco) на основании (4.3) равен линейной комбинации спектров данных сигналов

X(jco) = al -Xx{jco) + a2 - X2(jco) +....

3. Сдвиг (переносу смещение) спектра.

Умножение дискретного сигнала x(tn) на комплексную экспоненту ejC0°'n'A ПрИВОДИТ к сдвигу его спектра по оси частот со вправо на величину со0, что символически удобно записать следующим образом: x(tn)^X(jco), x(tn)-ej^n& => X(j[a-ojtl]).

Аналогично умножение дискретного сигнала x(tn) на комплексную экспоненту e~jC0°'n'A приводит к сдвигу его спектра по оси частот со влево на величину со0, что символически удобно записать следующим образом:

xQ„)=>X(ja>(tn)-e-JO*nA^X(j[a) + o0]).

В обоих случаях и модуль, и аргумент спектра комплексного сигнала утрачивают свойства четности и нечетности соответственно.

4. Сдвиг сигнала x(tn) на т отсчетов вправо (задержка сигнала).

Задержка сигнала x(tn) на т отсчетов приводит к умножению его спектра X{jco) на комплексную экспоненту е~^тА^ чт0 символически удобно записать следующим образом:

X(tn ) x(tJ => X{j0))-e-J^mA.

Следует отметить, что задержка сигнала приводит к изменению только фазового спектра, который получает линейное приращение:

arg{x (jco)} - со ? т ? А.

5. Равенство (теорема) Парсеваля.

Равенство Парсеваля устанавливает связь между энергией дискретного сигнала, вычисленной во временной и частотной областях:

где

0° 2

x(tn )| - энергия сигнала, вычисленная во временной области;

п

7t

д A 2

  • — [|х(убу)| dco -та же энергия, вычисленная в частотной области.
  • 2тт

д

Если обработка сигнала производится в частотной области, равенство Парсеваля позволяет вычислять энергию сигнала непосредственно по его амплитудному спектру, не прибегая к обратному преобразованию Фурье.

Рассмотрим связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов.

Пусть имеются аналоговый сигнал ха (t) и сигнал x(tn), полученный в результате его дискретизации. Аналоговый сигнал xa(t) и его спектр (фурье- изображение) Xa(jco) при xa(t)| =0 связаны преобразованием Фурье:

Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов определяется выражением:

из которой следует, что спектр дискретного сигнала равен (с точностью до постоянного множителя 1/Д) сумме спектров аналогового сигнала, сдвинутых по оси частот на все возможные частоты, кратные частоте дискретизации mсод =т-2- я/А, где т = 0, ±1, ±2,... .

Другими словами, спектр дискретного сигнала есть бесконечная сумма копий спектров аналогового сигнала, сдвинутых друг относительно друга на частоту дискретизации сод.

Исследуем влияние частоты дискретизации сод на соотношение между спектрами, полагая, что спектр Xa(jco) аналогового сигнала ограничен верхней частотой сов = 2к /в.

На рисунке 4.1,а-г приведены условные графики амплитудных спектров.

Приведенные графики позволяют сделать следующие выводы:

1. Если частота дискретизации бУд > 2соъ, то в основной полосе частот

[0; со/ 2] спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают.

2. Если частота дискретизации сод<2сов, происходит наложение спектров, называемое элайсингом (aliasing), поэтому в основной полосе частот [0; со/ 2] спектр дискретного сигнала представляет собой искаженный спектр

аналогового сигнала. Во временной области эффект наложения означает необратимую потерю возможности точного восстановления аналогового сигнала по его отсчетам.

Данные выводы согласуются с теоремой Котельникова, т. е. Л<1/(2/в) или /д>2/в.

Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов

Рис. 4.1. Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов: а) аналогового сигнала с ограниченным по частоте спектром; б) дискретного сигнала при частотах

дискретизации: 6УД = 20)в ; в) дискретного сигнала при частотах дискретизации: 6УД > 2о)в ; г) дискретного сигнала при частотах дискретизации: СОд < 2СОв .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >