Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямые линии, не принадлежащие плоскости, могут пересекаться с ней (в том числе и под прямым углом) или быть ей параллельными.

Пересечение прямой линии с плоскостью

Задачи на пересечение прямой линии с плоскостью можно разделить на три группы в зависимости от положения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. Для каждой группы характерна своя методика решения задач.

К первой группе относят задачи на пересечение прямой линии с проецирующими плоскостями или с плоскостями, параллельными плоскостям проекций (плоскостями уровня).

На рис. 4.38 показано построение точки пересечения М прямой общего положения АВ с треугольником а (СИЕ), занимающим горизонтально проецирующее положение. Все геометрические фигуры, расположенные в плоскости а, имеют горизонтальные проекции на прямой, являющейся горизонтальной проекцией плоскости. У прямой АВ с горизонтальной проекцией плоскости а' совпадает одна точка — М'. Следовательно, точка Мбудет общей для плоскости а и прямой ЛВ, т.е. в ней прямая АВ пересекается с плоскостью а(СД?).

Если плоскость задана плоской геометрической фигурой, то на чертеже следует отметить видимые и невидимые части прямой, считая плоскость ограниченной контуром фигуры (см. рис. 4.38).

Таким образом, в задачах первой группы одна проекция точки пересечения прямой и плоскости уже задана на исходном чертеже, а вторую проекцию нахо-

Рис. 4.40

дят без дополнительных построений с помощью одной линии проекционной связи.

Рис. 4.41

Ко второй группе относят задачи на пересечение проецирующих прямых с плоскостями, занимающими общее или частное положение относительно плоскостей проекций.

При пересечении фронтально проецирующей прямой АВ с плоскостью общего положения а (СИЕ), для нахождения точки их пересечения используют вспомогательную прямую (рис. 4.39). Для этого может быть выбрана произвольная прямая, принадлежащая плоскости и проходящая через фронтальную проекцию прямой А " = (В "), например прямая Ж.

Таким образом, в задачах второй группы точку пересечения прямой с плоскостью находят с помощью вспомогательной прямой, проведенной в заданной плоскости через известную проекцию точки пересечения.

В третью группу включены задачи на пересечение прямых общего положения или горизонтальных, фронтальных и профильных прямых с плоскостью общего положения.

Пусть треугольник СВЕ (рис. 4.40) расположен в плоскости общего положения и прямая АВ является прямой общего положения. Чтобы определить точку их пересечения, вводят вспомогательную плоскость у, проходящую через прямую АВ. Находят прямую Ж, по которой пересекаются заданная и вспомогательная плоскости. Искомую точку М получают на пересечении двух прямых — АВ и Ж. При решении задач третьей группы в качестве вспомогательных плоскостей проще всего брать проецирующие плоскости.

Пример решения задачи третьей группы приведен на рис. 4.41. Прямую общего положения АВ заключают во фронтально проецирующую плоскость у, пересекающую плоскость треугольника СВЕ по прямой Ж. На горизонтальной проекции определяют точку М', в которой пересекаются прямые И 'В' и Е'К',а. затем находят фронтальную проекцию М". Точка Модновременно принадлежит плоскости а (СВЕ) и прямой АВ, следовательно, она является искомой точкой их пересечения.

Рис. 4.42

Если прямую АВ заключить в горизонтально проецирующую плоскость, то вначале определяют фронтальную проекцию точки пересечения М".

На чертеже отмечают видимые и невидимые участки прямой АВ, считая плоскость а (СИЕ) ограниченной контуром треугольника. Видимость прямой на ПЛОСКОСТИ 711 определяют С ПОМОЩЬЮ конкурирующих точек (Ь X 1, а на плоскости к2 — с ПОМОЩЬЮ точек (К X Л0Л2-

Таким образом, при решении задач третьей группы руководствуются следующим планом:

  • 1) проводят через заданную прямую вспомогательную плоскость;
  • 2) определяют линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей;
  • 3) находят точку пересечения заданных прямой и плоскости.

При определении точки пересечения профильной прямой АВ с плоскостью общего положения а (СИЕ) через прямую АВ проводят вспомогательную профильную плоскость у (рис. 4.42), которая пересечет стороны треугольника СО и СЕ в точках Еи К. Для определения проекций точки пересечения М строят профильные проекции прямой АВ и линии пересечения ЕК, так как по горизонтальным и фронтальным проекциям этих прямых, расположенных в общей плоскости проецирования у, точку М определить нельзя.

При определении видимости прямой АВ по отношению к плоскости треугольника используют профильную проекцию.

Решение задач на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения упрощается при использовании способа замены плоскостей проекций (рис. 4.43). Задав новую плоскость я4 перпендикулярно горизонтальной прямой Иа, проецируют плоскость а (СОЕ) в линию. В системе плоскостей проекций п/п4 плоскость а займет проецирующее положение и задача на пересечение прямой с плоскостью может быть отнесена к первой группе. Без допол-

51

Рис. 4.43

Рис. 4.44

нительных построений находят проекцию точки и строят ее проекции М' и

Рис. 4.45

М ". В этом случае также упрощается определение видимости прямой линии.

Параллельность прямой линии и плоскости

Если прямая линия параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Если требуется определить, параллельны ли прямая МИ и плоскость а(АВ || СП), то руководствуются следующим планом решения задачи (рис. 4.44):

  • 1) в плоскости а(АВСП) задают произвольную точку Еили используют одну из точек, определяющих положение плоскости;
  • 2) через точку Е проводят прямую ЕЕ, параллельную прямой МИ;
  • 3) определяют, принадлежит ли прямая ЕЕ плоскости а.

В данном примере прямая ЕЙ плоскости а(АВ || СП) не принадлежит, поэтому заданная прямая МИ не параллельна плоскости а.

При решении обратной задачи, т.е. построении плоскости, проходящей через прямую АВ и параллельной заданной прямой СП (рис. 4.45), на прямой АВ выбирают произвольную точку Е, через которую проводят прямую ЕЕ || СП.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >