НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА

Напряженное состояние в окрестности точки тела и его виды

Под действием внешних сил, приложенных к телу, в нем возникают внутренние силы, которые определяются величинами нормальных и касательных напряжений в каждой точке тела. Совокупность напряжений, действующих на различных площадках, проведенных через точку тела, характеризует напряженное состояние в окрестности данной точки.

Вырежем мысленно в окрестности произвольной точки тела (рис. 4.1) элементарный параллелепипед с размерами dx, dy, dz (рис. 4.2). Вектор полного напряжения на каждой грани можно разложить на три составляющих по координатным осям. Например, на грани, перпендикулярной оси Ох, этими составляющими являются нормальное напряжение сх и касательные напряжения т и т^. Индекс у нормального напряжения указывает нормаль к площадке, на которой оно действует. Первый индекс у касательного напряжения обозначает ось, параллельно которой оно направлено, а второй — нормаль к площадке, на которой оно действует.

Рис. 4.1

Напряжения являются непрерывными функциями координат точек тела. Вследствие малости элементарного параллелепипеда можно считать, что напряжения на его параллельных гранях одинаковы по величине и равномерно распределены по площадкам граней.

Рис. 4.2

Нормальное напряжение считается положительным, если оно направлено в сторону внешней нормали к площадке. В соответствии с этим растягивающее напряжение считается положительным, а сжимающее — отрицательным.

Для касательных напряжений применяется следующее правило знаков. На площадке, внешняя нормаль к которой направлена в положительном направлении соответствующей оси, касательное напряжение считается положительным, если оно также направлено в положительном направлении оси. На рис. 4.2 показаны положительные напряжения.

Составим уравнения моментов сил, действующих на элементарный параллелепипед, относительно оси, проходящей через центры горизонтальных граней. Для этого нужно равнодействующие касательных напряжений тyxdydz и %xydxdz, действующих на вертикальных гранях, умножить на расстояния от центров этих граней до указанной оси:

Из этого равенства получим тух = Точно так же можно получить еще два аналогичных равенства. В результате будем иметь следующие три соотношения:

Эти равенства выражают закон парности касательных напряжений, согласно которому касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны по величине и направлены либо к линии пересечения этих площадок, либо от этой линии.

В силу закона парности на трех взаимно перпендикулярных площадках, проведенных через точку тела, имеем шесть искомых напряжений сх, су, az, тху, т , т^. Совокупность этих напряжений представим в виде матрицы

которая называется тензором напряжений.

Можно показать, что указанные шесть напряжений полностью определяют напряженное состояние в окрестности рассматриваемой точки тела. Это означает, что, зная эти шесть величин, можно найти напряжения на любой наклонной площадке, проходящей через данную точку. Следовательно, напряженное состояние в окрестности точки характеризуется тензором напряжений. Известно понятие числа и понятие вектора, как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой тензор. Тензору напряжений, в отличие от вектора, нельзя дать простое геометрическое толкование.

В теории упругости доказывается, что в любой точке нагруженного тела всегда существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными площадками, а действующие на них нормальные напряжения — главными напряжениями. Обозначим величины главных напряжений через а,, о2, а3. При этом будем считать, что Oj > о2 > о3.

Главные напряжения являются экстремальными величинами. Напряжение Oj представляет собой наибольшее, а о3 — наименьшее среди нормальных напряжений на различных площадках, проходящих через данную точку.

На рис. 4.3, а показан элементарный параллелепипед, грани которого являются главными площадками, а нормали к ним, оси 1, 2, 3 — главными осями напряженного состояния.

При расчете элементов конструкций на прочность необходимо знать в каждой точке вид напряженного состояния, который характеризуется значениями главных напряжений. Существуют три основных вида напряженного состояния: трехосное, при котором все три главных напряжения ст1? о2, о3 отличны от нуля

(рис. 4.3, а); двухосное, при котором одно из главных напряжений равно нулю (рис. 4.3, б), и одноосное, при котором только одно из главных напряжений отлично от нуля (рис. 4.3, в).

Рис. 4.3

Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение действует на площадках, наклоненных под углом 45° к главным осям 1 и 3, и равно

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >