Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow Логика и методология научных исследований

Планы экспериментов для линейного приближения поверхности отклика

Обоснование выбора математической модели

Формулируя цели и задачи исследования, экспериментатор предполагает, что между выходным параметром (откликом) и входными параметрами (факторами) имеется функциональная взаимосвязь

У = cp(xi,x2,

где у - отклик (результат эксперимента); Х,Х2, хк - независимые переменные (факторы), которые можно варьировать при постановке экспериментов.

Эмпирическое уравнение, связывающее отклики и факторы, часто называют математической моделью (или просто моделью) процесса.

Модель - описание, связывающее отклик с предсказывающей переменной или предсказывающими переменными и включающее сопутствующие предположения.

Поскольку модель это приближенное выражение неизвестного закона, которое удовлетворительно характеризует явление в некоторой локальной области факторного пространства, то для описания одного и того же явления может быть предложено несколько различных моделей.

Для того чтобы ответить на вопрос, какую модель предпочесть, необходимо иметь в виду, что главное требование к модели - это способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем с требуемой точностью. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому или какому-либо аналогичному требованию, называется адекватной. Проверка выполнимости этого требования называется проверкой адекватности модели. Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой.

Для описания функциональной взаимосвязи между результатами эксперимента и влияющими на объект исследования факторами, при отсутствии исчерпывающих сведений о механизме интересующего исследователя процесса, приходится ограничиваться представлением его в виде степенного ряда, точнее отрезка степенного ряда - алгебраического полинома. Полиномы дают удовлетворительное приближение расчетных данных к экспериментальным значениям и являются достаточно простыми для практического применения. Они различаются по максимальным степеням входящих в них переменных.

Общий вид полинома степени d от к факторов:

Здесь Ь0, bh by, Ьц - выборочные коэффициенты регрессии, которые можно получить, пользуясь результатами эксперимента.

Для двух факторов полиномы будут иметь следующий вид:

Общее число членов степенного ряда, или число эффектов (.Lp) в по- линоминальной модели порядка d для к факторов, можно рассчитать по формуле

а количество i-x сочетаний для к факторов (Clk,k> i) найти по соотношению

Например, всего в модели третьего порядка для четырех факторов будет коэффициентов.

Из них четыре тройных

Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем подлежащих определению коэффициентов, тем меньше времени и других ресурсов будет затрачено на непосредственное выполнение экспериментов. Надо найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели, т. е. оптимальная полиноминальная модель содержит минимум коэффициентов, но адекватно описывает эксперимент.

На начальном этапе пытаются описать исследуемое явление самой простой - линейной моделью. Затем планируют и непосредственно проводят эксперимент, по его результатам проверяют степень близости модели к фактическим результатам - адекватность полученной модели. Если модель неадекватно описывает результаты эксперимента, последовательно повышают число членов полинома.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы