КРИВЫЕ ЛИНИИ. ПОВЕРХНОСТИ И ТЕЛА

Понятие о проекциях кривых линий и поверхностей

В окружающем нас мире не так уж много предметов, которые бы могли изображаться только прямыми линиями. Гораздо больше предметов, которые включают различные сложные элементы, такие, как кривые линии и поверхности. Если присмотреться, то можно заметить, что кривые линии встречаются повсюду — в очертаниях различных машин и зданий, траекториях движения, элементах одежды и многом другом. С давних времен известны и хорошо изучены окружность, дуга окружности, эллипс, парабола, винтовая линия, цепная линия. Кривая линия непрерывна и ее можно представить как линию пересечения некоторых плоскостей. На чертежах кривые линии могут изображаться с помощью циркуля или специальных шаблонов — лекал (так называемые лекальные кривые).

Кривые линии разделяются на плоские и пространственные.

Плоской кривой называется линия, все точки которой принадлежат одной плоскости. Такие кривые встречаются наиболее часто. Для плоских кривых определены следующие понятия:

О секущая — прямая линия, пересекающая плоскую кривую в двух точках;

О касательная к плоской кривой — секущая кривой, занимающая предельное положение (т.е. когда две точки пересечения с кривой, стремясь друг к другу, совпадают). Если по кривой движется точка, то направление ее движения определяется касательной;

О гладкая — такая кривая, в каждой точке которой можно провести только одну касательную. Точка кривой, в которой можно провести только одну касательную, тоже называется гладкой. Гладкая кривая состоит из гладких точек.

Рис. 7.1

Представим, что по кривой движется точка. Если при движении точки по кривой направление ее движения не меняется (например, точка все время движется вправо вверх), то такая точка называется обыкновенной. В таких точках направление поворота касательной не меняется. В противном случае при изменении направления движения точка называется особой. К особым точкам относятся:

• 0 точка перегиба, где касательная пересекает кривую (точкам на рис. 7.1);
• 0 точка излома, где имеются две касательные (точка В);
• 0 точки возврата, где кривая имеет острие (точка С);
• 0 точка самопересечения или узловая точка, где кривая пересекает себя (точка D);
• 0 точка самоприкосновения, где кривая встречает саму себя (точка Е).

При проецировании характер особых точек сохраняется, например проекция точки возврата будет также точкой возврата.

Нормалью к кривой называется перпендикуляр, проведенный в плоскости кривой к касательной в точке касания.

Пусть рядом с кривой построена окружность так, что она касается кривой в некоторой точке. Предельное положение такой окружности (когда окружность проходит через данную точку кривой и две другие бесконечно близкие к ней точки) называется соприкасающейся окружностью или кругом кривизны кривой. Пусть R — радиус соприкасающейся окружности, тогда величина, равная 1 /R, называется кривизной этой кривой в рассматриваемой точке. При этом центр соприкасающейся окружности есть центр кривизны кривой, а ее радиус — радиус кривизны кривой. В общем случае кривизна кривой в разных ее точках различна, т.е. для каждой точки кривой имеется своя соприкасающаяся окружность. Множество центров соприкасающихся окружностей образуют кривую линию — эволюту, а сама исходная кривая по отношению к эволюте называется эвольвентой.

Следует запомнить, что в точке касания кривая и соприкасающаяся окружность имеют одну общую касательную и одну общую нормаль.

Касательные, нормали и кривизна кривой позволяют наиболее полно описать кривую и ее свойства.

Две плоские кривые могут касаться друг друга, т.е. иметь общую точку. Если в этой общей точке кривые имеют общую касательную, то они называются соприкасающимися. Соприкасаться кривые могут внутренним или внешним образом.

Наиболее известные плоские кривые: окружность, эллипс, парабола, гипербола, цепная линия, синусоида; реже встречаются, но тоже хорошо известны: центроида, рулетта, подера, кардиоида, астроида, брахистохрона, конхоида, строфоида, циссоида Диокла, верзьера Аньези, линия Кассини, лемниската Бернулли, логарифмическая спираль и др.

Пространственной кривой называется кривая, точки которой не принадлежат одной плоскости. Характерным примером пространственной кривой является винтовая линия, форму которой имеет обыкновенная пружина. Пространственные кривые называют кривыми двоякой кривизны.

Касательные и особые точки для пространственных линий определяются аналогично, как для плоских кривых. Но если для исследования плоской кривой достаточно одной проекции, то для исследования пространственной кривой в общем случае необходимы две проекции — горизонтальная и фронтальная.

Для пространственных кривых определены следующие основные понятия:

О соприкасающаяся плоскость (в точке) — предельное положение плоскости, проходящей через три смежные и бесконечно сближающиеся точки кривой. В этой плоскости лежат касательные к кривой в соответствующей точке;

О бинормаль — перпендикуляр к соприкасающейся плоскости;

О нормальная плоскость — плоскость, перпендикулярная соприкасающейся плоскости и проходящая через рассматриваемую точку;

О главная нормаль — линия пересечения (прямая) нормальной и соприкасающейся плоскостей;

О спрямляющая плоскость — плоскость, перпендикулярная нормальной и соприкасающейся плоскостям (проходит через бинормаль и касательную к кривой в рассматриваемой точке).

Касательная, нормаль и бинормаль взаимно перпендикулярны, их часто принимают в качестве координатных осей прямоугольной системы координат.

Кривыми линиями одинакового уклона называют две пространственные кривые в случае, если касательные к ним во всех точках одинаково наклонены в некоторой плоскости.

Существуют следующие способы задания произвольной кривой линии: аналитический — с помощью математических уравнений; графический; табличный — путем построения линии по заданным координатам последовательного ряда точек.

Так же как и прямые линии, кривые могут проецироваться на плоскости проекций. Чтобы построить проекцию кривой, надо построить проекции нескольких принадлежащих ей точек, а затем соединить их плавной линией в соответствующей последовательности. Для проекций кривых справедливы следующие свойства:

О проекцией кривой линии является также кривая линия (в общем случае);

О если точка принадлежит кривой, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям этой кривой;

О если провести касательную к кривой, то ее проекции являются касательными к соответствующим проекциям кривой (в случае, когда направление проецирования не параллельно касательной).

Как для плоских, так и для пространственных кривых их проекции представляют собой плоские кривые, но если плоская кривая лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций, то ее проекция на эту плоскость будет прямой линией. На проекциях кривых обычно указываются их характерные точки (точки перегиба, максимального или минимального удаления относительно оси и т.д.), по которым можно наиболее правильно описать изображаемую кривую.

Некоторые элементы кривой имеют свои названия:

О обвод — кривая, которая составлена из дуг различных кривых, имеющих пары смежных точек;

о узел — точка стыка дуг обвода;

О гладкий обвод — обвод, дуги которого в узлах имеют общие касательные;

О дискретный обвод — обвод, состоящий из отдельных точек, он задается координатами своих точек.

Если требуется определить длину некоторой кривой линии, то в нее вписывают ломаную линию и определяют длину кривой как сумму длин звеньев вписанной в него ломаной. Чем больше звеньев у вписанной ломаной, тем точнее определяется длина исходной кривой.

Если линию каким-либо образом перемещать в пространстве, то множество ее последовательных положений образует некоторую поверхность. Линии могут быть и прямыми, и кривыми, и в зависимости от этого получаются разные поверхности (плоскости, кривые поверхности, винтовые). Так как поверхности образуются при движении линии, то их часто называют кинематическими.

Образующая — это линия, при движении которой образуется поверхность. Образующая может передвигаться произвольно, а может двигаться по некоторой линии, называемой направляющей. Образующей может быть любая линия, передвигаться линия может по-разному, поэтому образуется много разных форм кривых поверхностей. Например:

О цилиндроид образуется при перемещении прямой линии параллельно некоторой заданной плоскости, причем образующая пересекает две направляющие;

О эллипсоид образуется при движении деформирующегося эллипса;

О коноид образуется при перемещении прямой линии параллельно некоторой заданной плоскости, причем образующая пересекает две направляющие — одну прямую, а другую — кривую линию.

Кривые поверхности различают по следующим признакам:

О по виду образующей: линейчатая — если передвигается прямая линия (например, цилиндрическая и коническая поверхности), нелинейчатая — если передвигается кривая (например, сферическая поверхность);

О по закону движения образующей, которое может быть поступательным, вращательным или винтовым;

О по развертываемости — развертываемая, если поверхность можно совместить со всеми точками с плоскости без повреждений, разрывов и т.п. (к развертываемым относятся такие линейчатые поверхности, у которых соседние образующие параллельны и в некоторых других случаях); в противных случаях неразвертываемая или косая (например, эллипсоид, коноид).

Кроме того, поверхности можно различать по гладкости, кривизне, способу задания.

Поверхность задают не только кинематически (т.е. движением), но и каркасом — плотной сетью линий, каждая из которых принадлежит поверхности. Обычно каркасом задаются поверхности, которые не описываются математическими выражениями.

Поверхности тоже могут проецироваться на плоскости проекций. Проекция контура поверхности на плоскости проекций называется очерком поверхности. Поверхность может пересекать какую-либо плоскость проекций, в этом случае линия пересечения будет являться следом рассматриваемой поверхности.