ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЬНЫМИ ИНВЕСТИЦИЯМИ

БЕЗРИСКОВАЯ МОДЕЛЬ ПОРТФЕЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ

Рассмотрим модель с целочисленными ограничениями на объемы приобретаемых финансовых активов, т.е. случай, когда активы продаются лотами.

Пусть инвестор обладает денежными средствами в объеме F на интервале [0; Т, которые он может потратить на приобретение п видов ценных бумаг. Ценные бумаги можно приобретать только лотами, количество ценных бумаг в /-м лоте (/ = 1, ..., п) равно V.. Исходная стоимость (в момент времени t = 0) единицы ценных бумаг вида i составляет а_г а будущая стоимость (в момент времени / = Т) рассчитывается следующим образом: с вероятностью Pj (/ = 1,..., к) стоимость единицы ценной бумаги составит у/. Необходимо выбрать такие виды ценных бумаг, чтобы максимизировать прибыль, полученную после продажи всех видов приобретенных ценных бумаг в момент времени Т. Данную задачу можно описать с помощью следующей модели:

Если лот / приобретается, то х. = 1, в противном случае x_j = 0.

В качестве целевой функции выбрано выражение из двух слагаемых, первое из которых — выручка от реализации ценных бумаг по цене у., а второе — остаток денежных средств после формирования портфеля ценных бумаг. Учитывая, что постоянная У⁷не оказывает влияния на оптимальное решение, получаем следующую целевую функцию:

Для решения данной задачи может быть использована следующая схема метода ветвей и границ:

1. Вычисление верхней оценки. Для всех пакетов акций рассчитывается величина у./а.. Пронумеруем все пакеты следующим образом: у,/а, > у₂/а₂ > ... > у /а . Далее, финансовые ресурсы выделяются для приобретения ценных бумаг в первую очередь первого вида, затем второго и так далее до того момента, пока остатка финансовых средств окажется недостаточно для приобретения лота ценных бумаг вида / в объеме V_r В этой ситуации игнорируются целочисленные ограничения на приобретение акций вида / и покупается максимально возможное количество ценных бумаг данного вида. Это количество (Vj) рассчитывается по следующей формуле: Vj = F_f_j/ а_г где F_/__l — остаток денежных средств после приобретения первых /- 1 пакетов ценных бумаг (1 < / < п). Итоговая верхняя оценка рассчитывается по формуле

2. Вычисление нижней оценки. Расчет осуществляется по формуле

3. Вычисление текущих верхних оценок. Текущая верхняя оценка при анализе очередного варианта портфеля ценных бумаг рассчитывается каждый раз после выделения финансовых средств на приобретение очередного пакета. Эта оценка складывается из прибыли, полученной от приобретения ценных бумаг, на которые уже выделены деньги, и прибыли от оставшихся ценных бумаг, вычисляемой по правилу получения Z_B. При этом если окажется, что Z_B^eK < Z_H, то данный вариант формирования портфеля не рассматривается; в противном случае в портфель включается очередной пакет акций и снова вычисляется Z_B^eK. В итоге либо анализируемый вариант портфеля будет отвергнут, либо в результате будет сформирован портфель, доходность которого больше Z_H. В этом случае в качестве нижней оценки принимаем полученное значение прибыли от последнего портфеля ценных бумаг и переходим к анализу нового варианта формирования портфеля. Работа алгоритма заканчивается либо после перебора всех вариантов формирования портфеля, и тогда оптимальным будет тот вариант, которому соответствует последнее значение Z_H, либо в случае, когда получен вариант портфеля, прибыль по которому равна Z_B.

Одной из проблем, возникающих при практическом использовании решения предложенной задачи, является невысокая достоверность прогноза стоимости ценных бумаг у_/ (/ = 1, ..., п). Если известна функция распределения случайных величин, задающих возможную прибыль по каждому виду ценных бумаг, то выбирается портфель, максимизирующий математическое ожидание выигрыша либо минимизирующий риск финансовых потерь (среднеквадратичное отклонение). Схема решения и результаты для данной задачи подробно описаны в работе [69].

Другим подходом использования решения задачи в условиях неточного прогноза является анализ чувствительности решения к изменению величин у..

При этом возможны три варианта:

1. Считается, что известны минимальные значения у., и необходимо вычислить, насколько могут быть увеличены эти значения, чтобы оптимальное решение задачи сохранилось, т.е. необходимо определить такое г^т, чтобы при увеличении всех у. на любое е е (0; г^т) решение задачи сохранилось.

Пусть Х= {х¹, ..., х"} — множество всех возможных решений

задачи и пусть эти значения упорядочены по значению величин . Пусть вектор х⁷ является оптимальным, тогда при увеличении у . на 8 для всех / = 1,..., п в качестве новых решений могут быть только решения х⁷"¹" ..., X^я. Чтобы определить границу изменения 8 для решения х⁷, необходимо вычислить е⁷ с помощью следующего соотношения:

Раскроем скобки и выразим s через параметры К, у., х!, хД Отсюда получаем

Пусть этот минимум достигается на каком-либо /, > /, тогда процедура приращения г¹' для решения х^1] повторяется. Это происходит до тех пор, пока через конечное число шагов не произойдет переход на решение х^п, и тогда дальнейшее увеличение всех значений у. не приведет к новому решению.

2. Предполагается, что у. меняются по правилу у. + те. В данной ситуации схема рассуждений сохраняется, только упорядочение

решений происходит по величине Соответственно, формула для вычисления е¹, при котором остается оптимальным решение х¹, будет иметь следующий вид:

3. Полагаем, что у_;. может принимать все значения из интервала [уД у.²]. В данной ситуации аналогично может быть представлена процедура разбиения множества, на котором изменяются значения у = (у_р ..., у_я), на подмножества S_р ..., S_n. При этом при изменении у на любом из подмножеств Д. (/ = 1, ..., п) оптимальным на этом подмножестве остается решение x^j е X.

Рассмотрим для предложенной задачи ситуацию, когда у. g [у.¹; у.²], т.е. будущая ожидаемая стоимость /-го актива может принимать любые значения из интервала [уД у?]. Рассмотрим для каждого актива интервалы [yj/а.; у²/а ]. В этом случае, вообще говоря, невозможно однозначно упорядочить все активы по степени убывания доходности. Поэтому можно сформировать все допустимые портфели и далее для каждого портфеля вычислить соответственно Fj Ff (J — 1,АО- Здесь N — число допустимых портфелей; Fj^l и F.² — значение целевой функции соответственно при минимальном и максимальном значении будущей стоимости всех активов. Далее расположим соответствующие значения целевой функции на оси доходности для различных инвестиционных портфелей.

Выберем портфели, которые могут при определенных значениях будущих стоимостей активов, входящих в них, быть оптимальными. Для этого из множества всех допустимых портфелей N выделим те, которые находим следующим образом:

• 1. Определим max Fj — F^ (j е N).
• 2. Определим шах /у = F^ (j е N).
• 3. Исключим из множества N все портфели, для которых Ffk'.

Оставшееся множество портфелей обозначим через N_{. Очевидно, что только портфели множества N_x могут быть оптимальными при изменении будущей стоимости активов в интервалах У, ^е [Y,¹; У/²], / — 1, п. Значение целевой функции для каждого допустимого портфеля у может быть представлено следующим образом:

где вектор с булевыми переменными x^J — {х,..., x^Jn) определяет те лоты, которые вошли в портфель у.

Если необходимо определить множество будущих стоимостей активов, при которыху-й портфель будет оптимальным, то очевидно, что оно задается следующей системой линейных неравенств: