ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ МАРКОВИЦА
В отличие от традиционной модели Марковица будем, как и ранее, предполагать, что активы можно приобретать только лотами, и определим значение х/ = VfkJF.
Целочисленная задача формирования инвестиционного портфеля на минимум риска
Задача Марковица на минимум риска с учетом введенных ранее обозначений может быть сформулирована следующим образом:
В задаче (11.8)—(11.11)у(. = 1, если /'-й лот включен в инвестиционный портфель, и у( — 0, если этот лот не включен в портфель. Величина AF задает минимально необходимый прирост инвестиционных ресурсов при реализации активов портфеля в момент времени t = Т. Значения cov^. вычисляются как попарные ковариации актива i и актива j (/ = 1,nj — 1,п i^j).
Опишем метод направленного перебора, реализующий схему метода ветвей и границ для этой задачи.
Шаг 1. Вычисление верхней оценки оптимального значения целевой функции (11.8). Для этого решается вспомогательная задача следующего вида:
Задача (11.12)—(11.14) является задачей линейного программирования с булевыми переменными.
Получив решение уопт задачи (11.12)—(11.14), сравниваем значение целевой функции (11.12) на этом оптимальном решении с правой частью ограничения (11.10):
- • если оно меньше чем F + AF, то задача (11.8)—(11.11) решения не имеет;
- • если оно больше чем F+ AF, то вычисляем на оптимальном решении уопт значение целевой функции (11.8) и принимаем его за величину верхней оценки F задачи (11.8)—(11.11).
Шаг 2. Вычисление нижней оценки. В качестве нижней оценки RH можно взять портфель, состоящий из одного лота, на котором
а2 = min а2.
1=1,я
Если RH < RB, то переходим к шагу 3. Если RH = RB, то оптимальное решение найдено.
Шаг 3. Вычисление текущих нижних оценок при анализе различных вариантов формирования портфелей. Текущая нижняя оценка формируемого портфеля (при условии, что в портфель уже вошли лоты
множества К с: N и выполняется соответствие ^ yiVlа, < F) вычисляется по следующей схеме. 1еК
Упорядочиваем все лоты множества NK по соотношению
и проверяем выполнение условия
Если неравенство (11.15) выполняется, то переходим к проверке выполнения следующего неравенства:
где cov/np — минимальная отрицательная ковариация двух активов из множества активов NK; хт, хр — равномерное распределение остатка капитала в долях после приобретения акций множества К;
— минимальная дисперсия для множества активов NK', n-k — число лотов в множестве активов NK;
— доля финансовых средств, оставшихся
после приобретения лотов множества К, равномерно распределенная между активами множества NK.
Если неравенство (11.16) выполняется, то выбирается очередной лот из множества NK, включаемый в формируемый портфель, образуется множество лотов, включенных в портфель К] (A'cz Кх), и вычисляется текущая верхняя оценка для лотов множества Ку Процесс формирования портфеля оканчивается, если при очередном включении нового лота в портфель не выполняется условие (11.15) или (11.16) либо за остаток средств нельзя приобрести ни один из оставшихся лотов, не включенных в портфель.
В последнем случае проверяем значение целевой функции (11.8) на сформированном портфеле: если оно меньше RB, то полагаем в дальнейшем, что RB равно полученному значению целевой функции (11.8). Метод прекращает работу, если при очередной корректировке Rr получим RB = RH или после того, как просмотрены все варианты формирования инвестиционных портфелей. В этом случае в качестве оптимального выбирается тот портфель, которому соответствует последнее (минимальное) значение RB.
