Устойчивость решений в задаче формирования оптимального портфеля оптовых закупок

Предположим, что решение задачи (13.1)—(13.4) получено методом ветвей и границ. Возникает вопрос, сохранится ли исходное оптимальное решение хопт = (х°пт,..., х°пт), если розничные цены реализации продукции р;. увеличатся на некоторую величину 5.. Такое увеличение может произойти, например, из-за инфляционных процессов.

Пусть уровень инфляции за истекший период [0, 7] составил некоторую величину Будем предполагать, что розничные цены на закупленные товары изменятся на величину 8. и станут равными (3/ + Ьр где 8/ = &Д. Здесь к( коэффициент увеличения цены на товар вида /.

Рассмотрим все допустимые решения задачи (13.1)—(13.4). Обозначим это множество через Х=р ..., х^}. Будем предполагать, что множество допустимых решений х],..., xN упорядочено по возрастанию взвешенной суммы компонент решения, т.е. по

(J = 1,..., N). Тогда Xj имеет минимальную сумму компонент

а решение xN максимальную сумму компонент

Если решение х, (1 < / < N) оптимально, то рассмотрим, как изменится значение целевой функции (13.1) при увеличении цен (3;. на величину (kt > 0). Получим следующее выражение:

При изменении ?, в интервале (0, оо) правая часть равенства может рассматриваться как линейная функция Обозначим ее как /Д^). Аналогично на любом другом решении Xj(j = 1, ..., Nj*l) может быть построена функция ДД?).

Каждая из функций ДД^) (j = 1, ..., N) является неотрицательной, линейной и возрастающей. Последнее обстоятельство следует из того, что При ? = 0 максимальное значение

имеет функция /Д?), так как х7 — оптимальное решение задачи

(13.1)—(13.4) при различных ценах (3,.. При увеличении же ? рост функций fj(^) (J = / + 1,..., N) будет более интенсивными и, следовательно, графики функций ffe) будут пересекаться с графиком функции/Д^) (рис. 13.1).

График изменения портфеля закупок при росте инфляции

Рис. 13.1. График изменения портфеля закупок при росте инфляции

Очевидно, что графики функцийjT(^) (J = I + 1,.N) пересекут график функции fft) при каких-то значениях Обозначим их через Ъ/ (у = / + 1,..., N). Вычисление значений ^ происходит с учетом выполнения соотношения

откуда

Учитывая равенство (13.7), для того чтобы определить интервал изменения уровня инфляции, на котором сохраняется оптимальным значениехр необходимо найти min ?J,j = l+ 1, N. Предположим,

что этот минимум достигается на каком-то (к > Г). Тогда для решения хк и уровня розничных цен (3;. + к^к можно повторить всю предыдущую цепь рассуждений и получить новое значение %kl х > к) и т.д.

В итоге через К итераций (К < N - Г) получим разбиение полу- бесконечного интервала изменения уровня инфляции ? е (0, оо) на конечное число таких интервалов, что при изменении инфляции в рамках одного и того же интервала оптимальный портфель закупок сохраняется. Возможность такого разбиения следует из того, что при изменении оптимального решения, которое произошло при увеличении уровня инфляции, номер соответствующего допустимого решения, ставшего оптимальным, обязательно будет больше, чем номер предыдущего допустимого решения, бывшего оптимальным при меньшем уровне инфляции.

В заключение необходимо отметить, что предложенная процедура получения интервалов устойчивости оптимальных решений задачи может быть использована и для любого подмножества X' множества допустимых решений, т.е. для X' с X.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >