Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами неполной структуры

Одним из наиболее распространенных практических требований к системам автоматического управления является требование достаточного быстродействия в переходных процессах различного рода. Как известно, мерой быстродействия для линейных САУ с постоянными коэффициентами может служить степень устойчивости, определяемая удалением корней характеристического полинома системы от мнимой оси.

Обеспечение заданной степени устойчивости достаточно просто осуществляется в тех ситуациях, когда структура обратной связи является полной в смысле определения 7.1.

В противном случае, трактуемом как ситуация с неполной информацией, в частности при формировании управления по выходу, решение задачи существенно усложняется и требует привлечения специальных вычислительных методов, некоторые из них приведены в работах [76, 82, 142,143].

Предлагаемый в данном параграфе подход, по мнению автора, отличается от известных меньшим объемом вычислений, большим удобством в реализации на современных компьютерных средствах, что позволяет использовать его в рамках систем автоматизированного проектирования и в составе адаптивных систем, функционирующих в реальном времени.

Сформулируем математическую постановку рассматриваемой здесь задачи обеспечения желаемой степени устойчивости. Пусть динамика объекта управления описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Здесь, как и ранее, х е Еп — вектор состояния, и е Е1 — управляющее воздействие, у е Ек — вектор измеряемых координат, А, Ь, Н — матрицы соответствующих размерностей, причем к<п.

Положим, что объект (7.47) является вполне управляемым по переменной и и вполне наблюдаемым по вектору у. Будем замыкать его регуляторами с математической моделью

где передаточная функция регулятора представляется выражениями

причем — полиномы по отношению

к переменной Лапласа s, имеющие степени deg Vu = ц,, deg V2 = v соответственно. Все коэффициенты указанных полиномов объединены в вектор h е Ер, который подлежит выбору в процессе синтеза.

Будем говорить, что в данном случае задание матрицы Н в уравнении измерения, а также степеней ц, (i = l,k)u v определяет множество G регуляторов с заданной структурой. Факт принадлежности регулятора (7.48) этому множеству будем отражать записью V(s,h) е G .

В качестве примера можно привести регулятор и = hlyl + h2y2 , т.е. или регулятор , для

которого

Нетрудно показать, что характеристический полином A3(s,h) замкнутой системы (7.47), (7.48) определяется соотношением

где

Определение 7.5. Степенью устойчивости замкнутой системы (7.47), (7.48) будем называть число

где ndстепень полинома его корни.

Подчеркнем, что по определению степень устойчивости является функцией р-мерного вектора h коэффициентов передаточной матрицы регулятора (7.48), принадлежащего множеству G.

Суть рассматриваемой здесь задачи состоит в том, что для объекта (7.47) необходимо построить регулятор (7.48) из указанного множества G регуляторов неполной структуры, обеспечивающий степень устойчивости замкнутой системы не хуже заданной, т.е. необходимо найти такой вектор h = h , что

Как было отмечено выше, регуляторами неполной структуры называются такие регуляторы (7.48), для которых выбором вектора коэффициентов h нельзя назначить произвольно заданный спектр корней полинома A3(s,h) (7.49). Для уточнения понятия неполноты структуры рассмотрим ряд вспомогательных соотношений.

Предположим, что с помощью регулятора (7.48) необходимо обеспечить заданный спектр корней, определяющий некоторый полином А* (5):

Приравнивая тождественно правые части равенств (7.49) и (7.51), получим линейную систему для поиска вектора h, обеспечивающего заданный спектр корней полинома A3(s,h). При этом будем считать, что компоненты вектора h входят в состав коэффициентов полиномов Vj,(s,h) (i = l,/c), V2(s,h) следующим образом:

Соответствующая линейная система из (nd+1) уравнений с неизвестными примет вид

где

Матрица T)v = |0(-j (Uj = 1,р) в (7.53), согласно (7.48), (7.51), (7.52), составляется из известных коэффициентов указанных выше полиномов A(s) и Н( B(s):

где Н, — строки матрицы Н.

Приэтом —матрицы размеров (nd +1) х v, (nd +1) х ((iij +1),..., (nd +1) х (Lk +1), причем

Определение 7.6. Будем говорить, что соотношение

(7.48) задает регулятор (обратную связь) с неполной структурой, если матрица h и степени v, (I, таковы, что система (7.53) является совместной не для любого вектора d° =|l dn> ... d2 dx j , или, что то же самое, если выполняется одно из следующих условий:

Введя определение регулятора вида (7.37) с неполной структурой, вернемся к сформулированной выше задаче.

В качестве одного из подходов к ее решению можно предложить построение любой последовательности jh;j векторов h, сходящейся к некоторой точке h0 е , где

т. е. это множество всех тех параметров передаточной матрицы обратной связи, при которых степень устойчивости замкнутой системы не хуже заданной.

Заметим, что не исключена ситуация, когда множество пусто, и указанную последовательность построить нельзя. В этом случае поставленная задача решения не имеет.

В рамках рассматриваемого подхода наиболее простым в идейном плане методом является максимизация степени устойчивости cp(h) (или минимизация вспомогательной функции

Действительно, решая (например, методами, указанными в работе [60]) минимаксную задачу без ограничений

можно построить минимизирующую последовательность Ц, h2,... для функции V|/(h), такую, что j/(h,) > |/(h2) > ... . При этом если эта функция не ограничена снизу (т. е. cp(h) не ограничена сверху), то вычислительный процесс имеет смысл завершить по достижении равенства cp(h) = а.

Если же функция )/(h) снизу ограничена, то последовательность h,, h2,... сходится к одному из локальных минимумов функции j/ в точке h0. Если этот минимум является глобальным, то при условии j/(h0)>a вычислительный процесс прекращается по достижении заданной степени устойчивости. Если же V|/(h0) < а , то задача не имеет решения.

Недостаток подхода, базирующегося на непосредственной максимизации степени устойчивости, связан с возможной неглад- костью функции ]/(h) и вытекающими отсюда значительными вычислительными трудностями, отягощаемыми необходимостью поиска глобального экстремума.

В связи с отмеченными обстоятельствами рассмотрим другой метод построения сходящейся последовательности jh-j, связанный с минимизацией некоторой специально построенной вспомогательной гладкой функции.

Для введения такой функции зададим произвольный вектор у е Еп* и по формулам (7.24)-(7.27) построим полином A4(s,y). Согласно определению 7.6, в общем случае не существует такого вектора h, а следовательно, и регулятора вида (7.48) в структуре G, чтобы характеристический полином A3(s,h) (7.49) замкнутой системы был тождественно равен A’(s,y). Иными словами, система

в общем случае несовместна. Тем не менее, согласно [57], отыщем наилучшее приближение к решению системы (7.59), используя понятие псевдоинверсии.

В силу выполняющихся соотношений (7.56) (для определенности положим р <пс1 +1) существует псевдообратная матрица Тф , определяемая соотношением

такая, что Tv^Tlv = Ер. Тогда наилучшее приближение к решению системы (7.59) h = hH(y) определится соотношением

Как известно из [57], сформированный вектор hH минимизирует вспомогательную функцию

т. е. справедливо равенство

Очевидно, что при этом функция

будет характеризовать наилучшее (в смысле (7.63)) отклонение допустимого (со стороны структуры G) положения корней характеристического полинома A3(s,h) от корней заданного полинома А* (5,у), имеющего требуемую степень устойчивости.

Нетрудно показать, что эта функция является непрерывно дифференцируемой, а рассмотрение некоторых дополнительных ее свойств, которое будет осуществлено ниже, позволит заключить, что процедура минимизации функции /(у) ведёт к решению исходной задачи (7.50).

Предварительно заметим, что в силу непрерывной зависимости вектора hH от вектора у в (7.61) и (7.63), имеем равенство

Теперь обратимся непосредственно к функции /(у) и докажем основное утверждение, обосновывающее алгоритм решения исходной задачи, предлагаемый в данном параграфе.

Теорема 7.3. Любая последовательность векторов |у. j в пространстве Еп*, которая минимизирует функцию /(у), сходится, причем если соответствующая последовательность {/(у,)} сходится к нулю, то вектор определяет ре

шение исходной задачи.

Доказательство. По условию теоремы последовательность {/(у, )} строго монотонно убывает и, согласно (7.62), (7.64), является ограниченной, поскольку /(у) > 0. Но тогда эта последовательность сходится, а в силу непрерывности функции /(у) сходится и последовательность { у,}.

Далее, если lim {/(у, )} = 0, то непрерывность функций /(у) и cp(h), как нетрудно показать с учётом (7.65), определяет справедливость соотношения

Это свидетельствует о том, что корни характеристического полинома A3(s,h) замкнутой системы стремятся к корням полинома A' (s, у0), но согласно теореме 7.1 его степень устойчивости не хуже а , что и доказывает теорему. ?

Замечание. На основании изложенного выше нетрудно убедиться в том, что если множество Н? не пусто, то нулевой глобальный минимум функции /(у) в пространстве Е"<* достигается, т. е. последовательность { у •} , указанная в теореме, всегда может быть построена с использованием любого численного метода минимизации.

Проведенные рассуждения позволяют заключить, что искомую последовательность { h;}, сходящуюся к элементу множества , определяющему решение поставленной задачи, можно получить, используя численные методы решения следующей задачи на безусловный экстремум:

Подчеркнем, что задача (7.67) гораздо проще задачи (7.58) в вычислительном плане в силу непрерывной дифференцируемости функции /(у).

На основе изложенного сформируем вычислительную схему решения задачи по обеспечению заданной степени устойчивости для регуляторов с неполной информацией.

Алгоритм №10. Обеспечение заданной степени устойчивости

1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях характеристического полинома A3(s,h) = A(5)y2(5,h)-V1(5,h)HB(s) и желаемого полинома A* (s) = sn* + +... + d2s + d{ или

непосредственно по формулам (7.53), (7.54) составить систему Tlvh = d , состоящую из (nd +1) уравнений с р неизвестными (р < nd +1). Найти псевдообратную матрицу

ТП+ _ (пт' тг -1'Т/

LW ~ У LW lW > lW •

2. Задать произвольный начальный вектор у е En (можно у = 0) и по формулам (7.24)-(7.27) построить полином A* (s,y), т. е. определить вектор d(y) по коэффициентам этого полинома.

3. Вычислить значение функциив соответствии с формулами (7.64), {/.bZ).

  • 4. Повторяя шаги (2) и (3), осуществить безусловную минимизацию функции /(у) по переменной у е Еп<> с помощью любого численного метода.
  • 5. Процесс прекратить либо по достижении заданной степени устойчивости (контролируя ее без вычисления корней полинома A3(s,h), например с использованием критерия Рауса), либо по достижении глобального минимума /0. Соответствующий вектор h = h0 = Тфс1(у0), где у0 = arg min /(у), являет-

yeEnd

ся решением задачи.

6. Если окажется, что /0 > 0 (в пределах принятой точности), то исходная задача решения не имеет.

Пример 7.2. Пусть задан объект управления, представленный математической моделью:

т. е.

Рассмотрим два варианта задания структуры обратной связи:

1)

где

2)

где

Поставим задачу о нахождении таких векторов h для обоих вариантов, чтобы степень устойчивости замкнутых систем (7.68), (7.69) и (7.68), (7.70) была не хуже а = 0.1.

1. Согласно приведенному алгоритму № 10 приравняем коэффициенты полиномов A3(s,h) и A*(s), учитывая, что для данного варианта имеем:

При этом первое уравнение системы есть верное тождество 1 = 1, а оставшиеся три составляют несовместную систему относительно коэффициента к с матрицей Tw=(o 0 if , псев-

дообратной к которой будет матрица т;=(о о 1). Выбирая начальный вектор у е Е3 нулевым и осуществляя минимизацию функции /(у) методом покоординатного спуска, уменьшим её значение от 1.43 до 1.92 * 10—6 . Последней величине соответствует вектор у0 = (о.584 0.600 0.84l), причем

Таким образом, в данном варианте искомым регулятором будет и = -1.341у . При этом имеем следующие корни характеристического полинома замкнутой системы: s1>2 = -0.280 ± 0.822j, s3 = -0.441, т. е. ф = 0.28 > 0.1, и задача решена.

2. Проводя аналогичные построения для второго варианта, получим, учитывая, что A(s) = s3 + s2 + s -1, HB(s) = (l sj , V2(f)-1. V,(s) = (fc, k2),

Выбирая начальный вектор у е Е3 равным нулю, уменьшим значение функции /(у) от 0.09 до 0. Последнему значению соответствует вектор У = У0 = (о 0.8367 о) , для которого имеем

т.е. искомым регулятором будет и = -1.008^! + 0.8300у2 • При этом замкнутая система имеет следующие корни характеристического полинома: 5! = -0.1, s2 = -0.1, s3 = -0.8, т.е.

ф = 0.1, и задача также решена.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >