Замечание о равенстве рисков страховщика и страхователя

В примере с рассрочкой взносов проиллюстрировано изменение цены денег и показано различие рисковых премий, если выплаты дисконтируются и если не дисконтируются. Видно, что эквивалентность обязательств сторон может трактоваться неоднозначно. Проанализируем ситуацию с несколько иных позиций.

8 Пример 27. Рассмотрим договор о страховании на 1 год от угона автомобиля ценой 25 000 уел. ед. Предполагается, что вероятность угона автомобиля такого класса в течение года равна 0,02, и при угоне страховая сумма, равная цене автомобиля, возмещается полностью. Страховая премия вносится единовременно. Найти рисковую премию.

Решение. 1) В договоре игнорируется процентная ставка. Тогда рисковая премия (уел. ед.) равна: П = pS = 0,02 • 25 000 = 500. Вероятность играет роль рисковой ставки. В среднем собранные премии равны выплаченным возмещениям, т.е. за счет рисковой премии страховщик никакой прибыли не получит.

2) В действительности ситуация иная. Пусть банковская процентная ставка составляет 12% в год и проценты начисляются в конце каждого месяца. При этом проценты — простые, т.е. 1% в месяц. Возмещение не индексируется. Вероятность угона распределена равномерно.

Тогда внесенные в начале года 500 уел. ед. превратятся через 1 месяц в 505 уел. ед., еще через месяц — в 510 уел. ед. и т.д., в конце года — в 555 уел. ед. Эти деньги находятся у страховщика. Следовательно, если случай произойдет в течение первого месяца, то потери страховщика (уел. ед.) составят: 25 000 - 500 = 24 500. Соответственно, для второго месяца потери составят: 25 000 - 505 = 24 495 и т.д. до последнего (двенадцатого) месяца, где потери равны: 24 445 уел. ед.

Поскольку распределение равномерно, то средние (ожидаемые) потери страховщика при наступлении страхового случая составят (уел. ед.): 0,5 • (24 500 + 24 445) = 24 472,5. Произойдет это с вероятностью 0,02. То есть, умножив условное математическое ожидание на вероятность, получим МО потерь страховщика: 489,45 уел. ед., что не равно 500 уел. ед. — определенной ранее рисковой премии. Более того, с учетом банковского процента, потери страхователя в среднем составят (уел. ед.): 0,98 • (500 + 555)/2 = 516,95. Разница 27,5 уел. ед. составит (для страховщика) прибыль за счет неверно назначенной рисковой премии (> 5,6%).

Причины этого эффекта две: не учитывается банковский процент для внесенных страхователем рисковых премий и не учитывается, что при выплате возмещения часть этого возмещения составляют средства самого страхователя, которому они выплачиваются. Очевидно, что если вместо простых процентов использовать сложные или непрерывные, то эффект усилится. Разумеется, играет роль и отсутствие индексации для возмещения.

Понятно, что в условиях дикого рынка этот эффект не столь заметен, особенно отечественному неискушенному страхователю. Однако, при переходе к цивилизованному рынку такие ошибки недопустимы. Завышенный тариф снизит конкурентоспособность, а недобросовестность и некомпетентность подорвут доверие к страховому бизнесу в целом.

3) Какой же должна быть рисковая премия, чтобы риски сторон были равны? Составим уравнение:

Очевидно, страховщик на практике трактует принцип равенства риска несколько иначе: все собранные рисковые премии (в среднем) равны всем выплаченным возмещениям, т.е. здесь не предполагается рисковать деньгами страховщика. Он всегда перекладывает свои расходы на клиента. Если бы он рассчитывал рисковую премию так, как показано, то для обеспечения безубыточности страхования была бы соответственно повышена рисковая надбавка.

Как было показано ранее, рисковая премия определяется из равенства современной цены всех собранных премий и всех ожидаемых выплат; т.е. здесь не предполагается, что страховщик рискует своими деньгами. Тогда П = Sp, как и ранее.

Ранее было показано, что можно рассматривать равенство рисков сторон иначе: страхователь рискует суммой П с вероятностью (1 — р), а страховщик — суммой (S - П) с вероятностью р, тогда

П (1 — р) = (S — П)р. Отсюда: П = Sp — тот же результат.

Замечание. Недобросовестный страховщик может попытаться обмануть своего клиента с помощью следующих рассуждений. Страховщик рискует страховой суммой S с вероятностью р, а страхователь рискует своей единовременной рисковой премией П с вероятностью 1 - р, поэтому: П (1 - р) = Sp, т.е. П = Sp/( 1 — р) > Sp Здесь он «не учел», что уже получил взнос П, поэтому он рискует только суммой S - П.

Замечание. При обсуждении влияния рисковой надбавки на вероятность разорения употреблялся термин «разорение наступает не чаще одного раза в 100 лет», и это понятие привязывалось к вероятности выхода за правую границу доверительного интервала.

В действительности, выход за правую границу с вероятностью 0,01 свидетельствует лишь о том, что из 100 страховщиков с такими характеристиками портфеля в течение одного года, скорее всего, 1 страховщик разорится, а 99 — выживут, т.е. решается совсем другая задача.

Если же исследовать вероятность разорения конкретного страховщика за п лет, то ситуация иная. Пусть вероятность разорения страховщика в течение 1 года (т.е. выхода за правую границу) равна Р (например, 0,01). Тогда вероятность его выживания в течение года есть Q = 1 — Р (т.е. 0,99); а за п лет он должен выжить п раз, вероятность этого Q п = Q («).

В частном случае Р = 1 /п имеем: (1 - /п) п * 1/е * 0,36 — совершенно неудовлетворительный результат. В более общем случае:

т.е. итог определяется значением пР, что позволяет оценить ситуацию в первом приближении.

Теперь можно решить и обратную задачу: задать вероятность выживания за п лет и по ней определить вероятность выживания за 1 год, а затем по этой вероятности нарушения правой границы найти все требуемые характеристики.

Например, становится понятным, почему в разделе «Степень риска» расчеты проводятся для вероятности разорения в течение года, равной 0,0001, а не 0,01. Этот же пример показывает, почему на бесконечном временном интервале вероятность разорения равна 1. Следовательно, необходимо четко указывать, какая вероятность разорения исследуется: за 1 год или за п лет.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >