Приложение 1. Сведения из теории вероятностей и математической статистики

Законы распределения случайных величин. Их параметры и характеристики

А Закон Пуассона

В общем случае рассматривается произвольный промежуток времени (0; t), где t — любое положительное число, поэтому:

И только если значение t = 1 (фиксировано), то

Взяв в качестве новой единицы времени не (0; 1), а (0; /), можно без потери общности пользоваться результатами для более простой формулы:

00

Убедимся, что это «распределение», т.е. ^Р(к = т) = 1. Из раз-

т=о

ложения в ряд: следует, что

Итак, Л/(А) = А,.

Найдем дисперсию: Z)(A) = М(&) - [М(К)]²;

Итак, D(K) = X, т.е. М(К) = D (К) = X.

Б. Экспоненциальное распределение Экспоненциальное распределение задается плотностью:

00

Убедимся, что это «распределение», т.е. ]/(*) dx = 1, а именно:

о

Итак, М(Х) = —.

а

Для расчета дисперсии определим второй начальный момент:

Тогда дисперсия равна

В. Нормальный закон распределения Нормальное распределение задается плотностью:

00 _J__f2

так как je ² dt = л/2л — интеграл Эйлера,

-00

Итак, М(ЛГ) = ц.

Найдем дисперсию через второй начальный момент:

Рассмотрим этот интеграл отдельно:

Итак, M(X²) = i² +-^=-J2k = p² +ст², тогда -Jin

Г. Логарифмически нормальное распределение (т, а²)

Если СВ t ~ N (0, 1), то СВ x = e^ot+m есть логарифмически нормальное распределение с параметром [т, а²).

Плотность этого распределения имеет вид:

Можно доказать, что

Проверим, что

_ In х-т _1а+т

Сделаем замену: --t; Inх = ta + m; x-q

о

Тогда dx = d(e^to+m) = e^to+m • d(tc + m) = e^ta+mo dt;

Для удобства показатель надо дополнить до «полного квадрата».

Тогда искомый интеграл примет вид:

ст²

—+/я

т.е М{Х) = е ² .

Итак, формула начальных моментов М(Х^к) справедлива для К = 1. Это позволяет убедиться в ее правильности для произвольного А' методом индукции. Тогда, используя

получаем выражение для D(X).