Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ОЦЕНКЕ ЗАВИСИМОСТИ

Задача 3.1. Случайные величины X и У = X2 комонотонны, т. е. находятся в полной функциональной зависимости. Показать, что коэффициент корреляции не равен единице в общем случае, а корреляционное отношение равно единице.

Решение. Сначала рассмотрим ситуацию с коэффициентом корреляции. Дисперсия случайной величины У

а ковариация между случайными величинами X и Y задается формулой

Очевидно, что коэффициент корреляции может быть равен единице только при некоторых специальных соотношениях моментов распределения случайной величины X:

Для проверки ситуации с корреляционным отношением рассмотрим только

При этом, очевидно, имеет место D [Х2| X] = 0, так что числитель дроби в выражении под знаком корня равен нулю и корреляционное отношение равно единице. Из аналогичных соображений получаем ц (Х Y) = г) ^ /У У^ = 1.

Задача 3.2. Показать, что неравенства (3.7) и (3.8) эквивалентны.

Решение. Начнем с неравенства (3.7)

Перепишем его в терминах вероятностей:

Теперь перейдем к вероятностям событий, выраженных в терминах неравенств типа «больше или равно»:

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим неравенство которое эквивалентно (3.8).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ

3.1. Придумать пример зависимых случайных величин, для которых имеет место

3.2. Доказать, что

[Подсказка: использовать интегрирование по частям.]

  • 3.3. Показать, что необходимым и достаточным условием зависимости в положительном квадранте является неравенство Cov [#i(Xi), <72(^2)] > 0 для любых неубывающих вещественных функций gД-) и
  • 3.4. Показать, что возрастание на правом хвосте условного распределения по условию па Х приводит к положительной зависимости на квадранте.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
 

Популярные страницы