Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Менеджмент arrow Введение в количественный риск-менеджмент

Статистическое оценивание обобщенных распределений Парето

Так же, как и при оценке GEV-распределеиий, оценка GPT-распределеиий начинается с построения повой выборки. После выбора порога d из исходной выборки отбираются наблюдения ад, превысившие данный порог, и вычисляются размеры превышений этого порога = ад — d. В дальнейшем оценка будет происходить на основе этой новой выборки.

Построение оценки максимального правдоподобия не представляет большой сложности. Следует лишь найти решение, максимизирующее выражение

где N — объем выборки yi.

Важным вопросом является определение пороговой величины d. Грубо говоря, речь идет о поиске границы, с которой начинается хвост. Напомним: предельная теорема предполагает, что d стремится к правой границе носителя. На практике это может означать, что порог должен быть достаточно большим. При этом, разумеется, чем больше d, тем меньше элементов будет оставаться в выборке и тем медленнее оценка параметров будет сходиться к их истинным значениям. При выборе ri может использоваться соотношение (7.5), из которого следует линейная связь между функцией среднего превышения и d. Выбирая различные значения d и соответственно оценивая функцию среднего превышения для каждого значения d, можно построить график их связи и выбрать такое значение ri, начиная с которого связь будет похожа на линейную.

При этом оцепить функцию среднего превышения можно с помощью соотношения

где I{Xi>d} равно 1, в случае если г-е наблюдение превысило выбранный порог.

Наконец, для оценки квантилей исходного распределения можно воспользоваться соотношением 1 — Fx(x) = (1 — Fx(d))(l — Fy(x — d)), в котором параметры второго множителя определяются с помощью указанного выше способа, а первый множитель оценивается с помощью величины где п —объем первоначальной выборки анализируемых ущербов, а N — объем выборки ущербов, превысивших порог.

Отметим также, что на практике ri часто выбирается таким образом, чтобы объём новой выборки составлял примерно 5% от исходной.

Оценка параметра методом Хилла

Для задач анализа экстремальных значений можно использовать способ оценки ? с помощью метода Хилла. В рамках метода предполагается упорядочить исходную выборку от большего к меньшему, выбрать некоторое значение к и вычислить

где Хиг-е по размеру наблюдение. Данная оценка будет состоятельна и асимптотически нормальна при к —> оо и п —> оо. На практике же обычно увеличивают к до тех пор, пока приблизительно не стабилизируется оценка параметра ?.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
 

Популярные страницы