Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла используется для оценки надежности «стареющих» объектов, при эксплуатации которых преобладают изно- совые отказы.

Также распределение Вейбулла хорошо описывает распределение:

  • • наработок до отказа многих невосстанавливаемых изделий (например, подшипников качения);
  • • наработок между отказами сложных систем, состоящих из последовательно соединенных дублированных элементов;
  • • характеристик прочности металлов.

Случайная величина X распределена по закону Вейбулла, если ее интегральная функция распределения имеет вид

где к - параметр масштаба распределения Вейбулла, к > 0; Ъ - коэффициент формы, Ъ > 0.

Тогда дифференциальная функция распределения будет иметь вид:

Параметр к определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При Ь = 3,3 закон распределения Вейбулла близок к нормальному распределению.

При Ъ = 1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением.

При b< 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией (изделия, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время не стареют и опасность их отказа имеет наибольшее значение в начальный период).

При b> 1 интенсивность отказов будет монотонно возрастающей функцией (хорошо контролируемые при изготовлении изделия, почти не имеющие скрытых дефектов, но подверженные быстрому старению).

Широкое применение закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр Ь. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры к и b с тем, чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.

Для случайной величины - времени безотказной работы объекта, распределенной по закону Вейбулла, количественные характеристики надежности рассчитываются по следующим формулам.

Вероятность безотказной работы р(7) = exp^-A; -tb

Вероятность отказа д(г) = 1-/>(г) = 1-ехр(-А:Т^.

Интенсивность отказов X(t) = к-b-tb~

Среднее время безотказной работы (математическое ожидание наработки до отказа)

где Г - гамма-функция, табулированные значения которой приведены в табл. П2.3 (прил. 2).

Пример 4.9. Время работы объекта до отказа подчинено закону Вейбулла с параметрами Ъ-1,5 и к-1 -10-4 1/час.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности объекта:

  • • вероятность безотказной работы p{t) и интенсивность отказов X(V) для заданного времени / = 100 ч;
  • • среднее время безотказной работы Т0.

Решение

Вычислим вероятность безотказной работы и интенсивность отказов

Определим среднее время безотказной работы

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >