Принятие решения в условиях риска

Формализованная постановка задачи

Математически формализованную постановку задачи принятия решения в условиях риска можно условно назвать общей математической моделью риск- менеджмента.

В ходе описания модели мы будем руководствоваться приведенной в предыдущей главе общей схемой риск-анализа и управления риском и, в частности, представленной последовательностью этапов этого процесса (см. рис. 1.4). Построение математической модели может быть начато на начальном этапе, где целевое состояние объекта управления может быть охарактеризовано избранными количественными показателями. Основная формализация задачи риск- анализа проводится на этапе 5, качественное содержание которого состоит в описании последствий решений, т.е. конечных состояний объекта управления, формируемых управляющими воздействиями и состояниями среды. Здесь проводятся следующие измерения, оценки и расчеты.

  • 5.1. Осуществляется выбор количественного показателя X или группы показателей Х, Х2, ..., Х„, таких, что последствия рассматриваемых решений могут быть описаны набором значений этих показателей.
  • 5.2. Для каждого из возможных последствий альтернативных вариантов решений проводятся оценки значений показателей Х, Х2, ..., Хп, т.е. последствия описываются наборами числовых значений этих показателей.
  • 5.3. Выбирается функционал полезности и(Х) — и(Х(, Х2, ..., Хп), определяющий предпочтительность отдельных возможных последствий рассматриваемых решений.
  • 5.4. Выбирается и обосновывается правило, позволяющее в агрегированном виде охарактеризовать полезность решения, т.е. перейти от набора полезностей отдельных последствий некоторого решения к полезности этого решения в целом, с учетом всех его возможных последствий и меры реальности наступления каждого из этих последствий.
  • 5.5. Варианты решений упорядочиваются по уровню их полезности, и рассматриваются варианты решения, обеспечивающие максимальную полезность.

Содержание пунктов 5.1—5.3 основано на постулируемых нами признаках рисковой ситуации, т.е. последствия каждого из вариантов решений могут быть описаны и упорядочены по их предпочтительности. Математическая формализация означает, что, как описание последствий, так и их упорядочение могут быть количественно охарактеризованы набором параметров Х, Х2, ..., Хп и функционалом полезности и(Х, Х2, ..., Х„). Пусть а, а2, ..., я* — возможные варианты альтернативных решений, {?„} — набор возможных состояний внешней среды. Как указывалось выше, в теории принятия решений в условиях неопределенности постулируется, что при каждом из возможных состояний среды каждое решение имеет единственное последствие. Таким образом, для описания последствий решения cij необходимо идентифицировать и количественно охарактеризовать всевозможные пары (я;-, Sa) — какое последствие наступит, при условии, что будет принято решение aj, а среда будет находиться в состоянии Sa.

Предположим, что в соответствии с описанной процедурой все последствия всех решений описываются группой показателей Х, Х2, ..., Хп (этапы 5.1—5.2). Тогда последствие решения aj при состоянии среды Sa есть набор значений показателей X(aj, Sa), X2(aj, Sa), ..., Xn(cij, Sa). Согласно постулату «фиксированное состояние среды — единственное последствие», величины X(aj, Sa), X2(aj, Sa), ..., Xn(aj, SIZ) являются детерминированными. Задача выбора показателей Х, Х2, ..., Хп и оценки величин X{cij, Sa), X2(aj, Sa), ..., X„(aj, Sa) сама по себе достаточно сложна, поскольку речь идет об идентификации состояния сложной системы конечным набором количественно измеримых показателей. Решение этой задачи связано, во-первых, с выделением оптимального количества показателей (дескрипторов), адекватно отражающих состояние системы, а во- вторых, с решением всех вопросов, связанных с измерением этих показателей. Этим задачам посвящен ряд специальных исследований (см., например, [10, 18]).

Следующей, не менее трудоемкой задачей является этап 5.3, суть которого состоит в расстановке предпочтений, т.е. в выработке правила, позволяющего дать однозначный ответ на вопрос, какое из двух состояний системы предпочтительней, при условии, что эти состояния описываются наборами чисел — значений показателей.

Например, состояние производственного предприятия может оцениваться двумя показателями: уровнем рентабельности продукции и размером сегмента рынка продукции, занимаемого предприятием. В зависимости от стратегии и тактики руководства предприятия в одном случае может быть предпочтительней повышение рентабельности продукции при снижении объема продаж, а в другом (при проведении агрессивной маркетинговой политики) — расширение сегмента рынка с допускаемым при этом снижением уровня рентабельности. В общем случае задача расстановки предпочтений последствий, описываемых наборами значений показателей Х, Х2, ..., Хп, может быть охарактеризована как проблема многокритериального выбора, которой также посвящен ряд специальных исследований (см., например, [10]). Таким образом, для выполнения этапов 5.1 — 5.3 необходимо решение комплекса аналитических задач, каждая из которых в общем случае представляет собой серьезную научную проблему. Тем не менее по отношению к задаче риск-анализа эти задачи имеют лишь опосредованное отношение, поскольку здесь пока речь идет только о детерминированных оценках.

Ключевым моментом в ходе риск-анализа является этап 5.4, на котором необходимо оценить совокупную (агрегированную) полезность решения с учетом всех его возможных последствий и степени реальности наступления каждого из этих последствий. Фактически агрегированная полезность решения яу представляет собой функционал U, ставящий в соответствие множеству |(Аг1(^.,5'а),X2(?ij,Sa),...,^(^.,<5^))}

всевозможных последствий каждого из решений яу число U(aj). На этапе 5.5 решения упорядочиваются по значениям их агрегированной полезности, т.е. лучшим считается решение а с максимальным значением агрегированной полезности U(a).

Агрегированная полезность решения может строиться с использованием явно задаваемой меры риска. Как правило, в этом случае

множеству ^(X](aj,Sa),X2(aj,Sa),...,Xfi(aj,Sa))^ всевозможных последствий каждого решения яу ставятся в соответствие два числа: u{aj) и уровень риска р(aj). Агрегированная полезность U(aj) находится как функция этих параметров U(aj) — U(u(aj), р( aj)). Чаще всего наиболее предпочтительным считается решение, характеризующееся максимальным значением u(aj) и одновременно минимальным уровнем риска р{aj). Поэтому величину u(aj) можно назвать условной полезностью решения.

Можно утверждать, что в описанную схему укладывается большинство экономико-математических моделей анализа и управления риском, начиная от моделей принятия решения об участии в лотерее и кончая самыми сложными. Классификация этих моделей фактически представляет собой классификацию методов, на основе которых выполняются процедуры 5.1—5.5. Ключевым классификационным признаком является совокупность процедур и методов, на основе которых выполняется этап 5.4.

Если в качестве основного классификационного признака использовать тип математического инструментария, используемого для построения функционала агрегированной полезности, можно выделить следующие основные классы моделей (здесь мы используем модифицированную классификацию из [11]):

  • • вероятностные;
  • • на основе аппарата нечеткой математики;
  • • нестохастические (игровые);
  • • на базе компьютерных методов искусственного интеллекта.

К последнему классу мы относим модели, в которых оценка последствий принимаемых решений и оценка агрегированной полезности решений проводятся с использованием таких технологий, как искусственные нейронные сети, генетические алгоритмы и имитационное моделирование (в широком понимании данного термина, не сводящемся к разыгрыванию случайных величин методом Монте-Карло). Указанный класс моделей детально рассматривается в, например, [1, 20, 24].

К простейшим нестохастическим моделям относятся критерии Лапласа, Вальда, Гурвица и Сэвиджа. Концептуально эти критерии основаны на теоретико-игровом подходе, где процесс принятия решения рассматривается как двухходовая игра ЛПР с внешней средой (природой).

Пусть а, а2, ..., ат — альтернативные варианты решений, a S, S2, ..., Sn возможные состояния внешней среды. Полезности последствий (оцененные в результате выполнения этапов 5.1—5.3) представляются в виде матрицы выигрышей:

Sx

s2

Sn

01

Un

Un

Uxn

а2

U2x

U22

u2n

<*т

UmX

Uml

Umn

В этой матрице число Щ — полезность последствия решения Oj, которое наступит при условии, что на момент наступления последствий решения среда будет находиться в состоянии Sj (наломним, что для каждого состояния среды каждое решение имеет единственное последствие). Все названные теоретико-игровые критерии различаются по способу построения агрегированной полезности решения с учетом всех возможных состояний среды, т.е. по способу выполнения этапа 5.4.

Критерий Лапласа. В этом случае агрегированная полезность решения я, оценивается по формуле

Лучшим является решение с максимальной полезностью ?/(я,). Таким образом, по критерию Лапласа агрегированная полезность решения равна усредненной полезности отдельных его последствий, что неявно предполагает равную возможность наступления этих последствий.

Критерий Вальда, или принцип крайнего пессимизма. Согласно этому принципу игра с природой (принятие решения в условиях риска) ведется как с разумным, агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать ЛПР достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия ЛПР, при которой гарантируется выигрыш не меньший «разрешенного природой». Другими словами, критерий Вальда означает выбор самой осторожной, пессимистической стратегии, что соответствует минимаксной стратегии. Агрегированная полезность решения оценивается по формуле

Выбор решения с максимальной полезностью означает, что выбирается такой вариант, при котором в худших условиях достигается наилучший эффект.

Критерий Гурвица, или принцип пессимизма-оптимизма. Этот критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом «всегда рассчитывай на худшее!», ни крайним оптимизмом «авось, кривая вывезет!». Согласно этому критерию максимизируется взвешенное среднее между выигрышами крайнего пессимизма и крайнего оптимизма. Полезность решения рассчитывается по правилу

где X — положительное число между 0 и 1, определяемое из субъективных соображений. Это число отражает как меру неприятия риска лицом, принимающим решение, так и степень угрозы наступления наиболее неблагоприятных последствий. Применение этого критерия осложняется отсутствием обоснованных методов выбора параметра Я.

Критерий Сэвиджа, или принцип минимаксного риска. На основе этого критерия осуществляется минимизация упущенной выгоды путем перехода к другой матрице последствий решений, которая уже оценивается по критерию Вальда. Вводится матрица упущенных выгод:

Если бы ЛПР было наперед известно, что наступит состояние среды Sj, то наилучшим решением при этом был бы выбор такого ак, что

Тогда при выборе решения а,- и состоянии среды Sj величина Yy представляет собой упущенную выгоду — разность между полезностью фактически наступившего последствия (выигрышем) и максимально возможной полезностью при данном состоянии среды. Полезность решения д, оценивается по формуле

а оптимальное решение (характеризующееся максимальной полезностью) минимизирует упущенную выгоду.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >