Основные критерии принятия решения в условиях риска

Рассмотренные теоретико-игровые критерии наглядно показывают, что различие моделей принятия решения в условиях риска обусловлено главным образом методами построения агрегированной полезности решения. Рассмотрим теперь вероятностные модели и критерии принятия решения в условиях риска. Один из наиболее широко используемых критериев — математическое ожидание. Предполагается, что последствия каждого из рассматриваемых решений а описываются одной случайной величиной Ха, причем более предпочтительны большие значения X, т.е. согласно нашей схеме полезности отдельных возможных последствий равны соответствующим значениям Ха. Агрегированная полезность решения Ха равна математическому ожиданию Е(Ха).

Несколько более сложной вариацией данного критерия является введение функции элементарной полезности и(х) с заменой полезностей последствий решения а на возможные значения случайной величины и(Ха). Агрегированная полезность решения равна математическому ожиданию Е(и(Ха)).

Критерий математическое ожидание предназначен для рекомендации ЛПР по выбору наиболее рационального решения. В этом смысле уязвимость критерия состоит в том, что он основывается на законе больших чисел, т.е. эффективен «в среднем» при условии многократного его применения в одних и тех же условиях. Если не придавать большого значения математической строгости, это означает, что большинство лиц, принявших решение на основании этого критерия в одинаковых условиях, окажутся в выигрыше. Также рационально многократное применение этого критерия одним ЛПР в одних и тех же условиях. Безусловно, такие ситуации возможны лишь теоретически. Практически же каждая ситуация принятия решения в условиях риска в определенном смысле уникальна, что в особенности относится к инвестиционным решениям. Поэтому, принимая решение о выборе одного из нескольких инвестиционных проектов, инвестор не может полностью положиться на оценки ожидаемой прибыли каждого из этих проектов — в единичном случае проект с максимальным математическим ожиданием прибыли может оказаться наименее прибыльным.

По этим причинам критерий математическое ожидание дополняется другими характеристиками, позволяющими в какой-либо степени учесть возможность отклонения наблюдаемых значений случайной величины от ее математического ожидания.

Наиболее простым подходом является применение взвешенного критерия математическое ожидание — дисперсия. Так же, как и выше, предполагается, что последствия каждого из рассматриваемых решений а описываются одной случайной величиной Ха, но кроме математического ожидания Е(Ха) решение характеризуется мерой риска р(Ха)=о(Ха), где о{Ха) — среднее квадратическое отклонение величины Ха. Агрегированная полезность решения равна взвешенной сумме Е(Ха) — а о(Ха), где положительный коэффициент а определяется решением ЛПР и характеризует меру неприятия им риска (чем в меньшей степени ЛПР склонно к принятию рискованных решений, тем больше должно быть значение этого коэффициента). Во введенной выше терминологии математическое ожидание Е(Ха) является условной полезностью решения.

Критерий математическое ожидание — предельный вариант взвешенного критерия при а — 0. Другим предельным вариантом является выбор решения с минимальным риском — агрегированная полезность решения равна — о(Ха) (наибольшую полезность имеет величина Ха с минимальным значением о(Ха)).

Также кратко охарактеризуем VaR-критерий. Аббревиатура VaR (Value at Risk) используется для обозначения стоимостной меры риска. Эта мера представляет собой стоимостную оценку величины, которую не превысят предполагаемые (в течение определенного периода времени) потери с заданной пороговой вероятностью. Напомним, что <7-квантилем случайной величины X называется значение tq, такое что Prob(X< tq) = q, т.е., если F%(f) — функция распределения величины X, то F^tq) = q. Для заданного значения а величина VaR^ равна (1—а)-квантилю величины, выражающей стои- мост-ную оценку потерь: Prob(X—а или Prob(^VaRa) = а — вероятность того, что потери будут не ниже VaR„, равна а. VaR-критерий применяется в ситуации, когда последствия рассматриваемых решений характеризуются случайными величинами, выражающими размеры потерь. Выбор решения в этом случае эквивалентен выбору случайной величины потерь. Сначала выбирается значение а, и для каждого из вариантов оценивается VaR„. Лучший вариант соответствует минимальному значению VaR«, т.е. агрегированная полезность решения равна ( — VaRa).

Последний вероятностный критерий, который мы рассмотрим в данном параграфе, — модификация коэффициента риска, введенного в [3]. Этот коэффициент является одним из немногих критериев, позволяющих при выборе решения в условиях риска учесть не только возможные потери, но и возможные дополнительные выгоды. Суть коэффициента состоит в соотнесении ожидаемых потерь с ожидаемыми дополнительными выгодами.

Пусть, как и выше, последствия каждого из рассматриваемых решений а описываются случайной величиной Ха с плотностью вероятности fa(x). Обозначим через и(х) функцию элементарной полезности и предположим, что для фиксированного z события Ха < z и Ха> z являются для нас соответственно неблагоприятным и благоприятным. Тогда коэффициент риска Kz(a) вычисляется по формуле

Если Ха дискретная случайная величина с законом распределения

Ха

X]

Х2

Х„

Р

Pi

Р2

Рп

то коэффициент риска вычисляется по формуле

В формулах (1.1) и (1.2) числитель можно понимать как оценку ожидаемых потерь, а знаменатель — как оценку ожидаемых выгод. Чем меньше значение коэффициента, тем большие выгоды сулит данное решение по сравнению с потерями. Если, например, значение коэффициента равно 0,5, то ожидаемые выгоды вдвое больше возможных потерь.

Приведем простейший пример вычисления коэффициента риска для решения о покупке одного лотерейного билета стоимостью 1 ден. ед. При этом выигрыш составляет 100 ден. ед., вероятность выигрыша равна р. Функция элементарной полезности и(Х) равна X — размеру дохода. Благоприятным событием считаем X > 0, а неблагоприятным соответственно X < 0. Тогда вероятностное распределение последствий имеет следующий вид:

Доход

-1

99

Вероятность

(1 -Р)

Р

Тогда по формуле (1.2) получаем

Если устроители лотереи организовали ее на общественных началах, т.е. продали 100 билетов стоимостью 1 ден. ед. и все средства от продажи билетов направили на оплату выигрыша, то р = 0,01 и коэффициент риска составит 1.

Приведенное определение коэффициента риска является модификацией определения из [3]. Необходимость такой модификации возникла в связи с тем, что коэффициент из [3] недостаточно гибко учитывает вероятностное распределение величины Ха. Например, его применение к предыдущему примеру дает значение 1/99 независимо от вероятности выигрыша р.

Рассмотрим вопрос о том, какие меры риска (и какие критерии) могут быть использованы для рисков различных типов (катастрофических и атрибутивно-негативных).

Согласно нашей характеристике катастрофического риска, приведенной в предыдущей главе, потери в результате его негативной реализации многократно превосходят затраты на возможные анти- рисковые мероприятия. Поэтому в качестве меры катастрофического риска целесообразно использовать вероятность Р негативного исхода. Далее имеет смысл ввести также индикатор риска, равный отношению оцениваемой вероятности негативного исхода к пороговому ее значению, т.е. к уровню значимости. Таким образом,

Если данный индикатор риска не превосходит 1, то вероятность негативного исхода не превосходит уровня значимости. Тогда согласно принципу практической уверенности (лежащего в основе всех практических применений теории вероятностей) негативный исход считается невозможным. Целью управления катастрофическим риском является снижение вероятности его негативного исхода. Эффективность этого управления оценивается значением индикатора (1.3). Как мы видим, при этом не учитываются затраты на антирисковые мероприятия, поскольку согласно нашему подходу уровень катастрофического риска необходимо снижать, не считаясь с затратами.

Для атрибутивно-негативного риска может быть использован показатель уровня относительных потерь. Будем предполагать, что последствия проявления факторов этого риска характеризуются отклонением в меньшую сторону значения показателя X по сравнению с его целевым значением Хо. Тогда величина Хо — X выражает потери, и в качестве меры риска можно использовать условное математическое ожидание относительных потерь

Индикатор уровня данного риска также может быть введен как отношение показателя (1.4) к уровню относительных потерь, который ЛПР считает приемлемым (например, приемлемый уровень потерь может быть равен 0,1, т.е. 10%):

На основе показателя (1.4) могут быть учтены затраты на анти- рисковые мероприятия. Предположим, что значение показателя

  • (1.4) превосходит приемлемое значение относительных потерь. В таком случае необходимы мероприятия по снижению возможных потерь. Пусть Z — детерминированная оценка затрат на эти мероприятия. Тогда с учетом этих затрат неблагоприятными последствиями считаются значения величины X, меньшие Xq + Z. Новое значение показателя получается заменой в (1.4) Xq на Xq + Z. Мероприятия считаются эффективными, если новое значение показателя
  • (1.4) ниже первоначального, т.е. если предотвращаемые потери превосходят произведенные затраты.

Для ресурсно-подобного риска в качестве показателя можно использовать коэффициент (1.1). Здесь предполагается, что последствия проявления факторов данного риска описываются случайной величиной X с плотностью вероятности Дх). Предположим, что неблагоприятными являются последствия, характеризуемые значениями X, меньшими Xq. Тогда значение коэффициента риска равно

Индикатор данного риска также может оцениваться на основе значения приемлемого значения коэффициента риска. Например, в качестве такого значения может использоваться число 0,5, когда ожидаемые потери вдвое меньше ожидаемых дополнительных выгод. Тогда

Так же, как значения индикаторов (1.3) и (1.5), значение этого индикатора не должно превосходить 1. В противном случае необходимы мероприятия по управлению риском, целью которых является снижение значения коэффициента (1.6). В данной ситуации мы не называем эти мероприятия антирисковыми, поскольку в результате этих мероприятий значение коэффициента (1.6) может уменьшиться за счет роста ожидаемых дополнительных выгод. Уровень риска при этом может возрасти за счет вовлечения дополнительных факторов риска, что может количественно выражаться увеличением дисперсии величины X Если при этом Z — затраты на мероприятия по управлению риском, a g(x) — новая плотность вероятности распределения величины X, то новое значение коэффициента оценивается по формуле

Для выбора приемлемых значений коэффициента в формуле (1.7) может использоваться шкала, приведенная в [3]:

(N

o'

1

о

Пессимистическое поведение

0,2-0,4

Осторожное поведение

0,4-0,6

Средняя степень риска

0,6-0,8

Рискованное поведение

0,8-1

Поведение с высокой степенью риска

1 и более

Азартное поведение

Используются также модели, основанные на методах нечеткой математики. В этих моделях для описания возможных последствий принимаемых решений используются не вероятностные распределения показателей, а функции принадлежности нечетких чисел. Каждое состояние объекта управления идентифицируется с набором значений показателей Х, Х2, ..., Х„, а последствия каждого решения а представляются в виде набора нечетких чисел {(Хь щ(а)) (Х2, /л2{а)) (Х„,Ма))}, где ц(а) Ма), ...» //„(я) — функции принадлежности. Этот класс моделей подробно мы будем рассматривать ниже (см. гл. 13), применительно к риск-анализу инвестиционных проектов. Здесь мы отметим лишь два принципиальных различия между нечетко-множественным и вероятностным подходом к задаче риск-анализа. Преимущество вероятностного подхода заключается в том, что имеется достаточно широкий спектр методов, позволяющих оценить вероятностное распределение рассматриваемых величин, тогда как состав методов оценки функций принадлежности нечетких чисел довольно ограничен. С другой стороны, в отличие от вероятностных методов теория нечетких множеств позволяет оперировать лингвистическими значениями переменных (например, «высокий уровень», «низкий уровень» и т.д.). Это дает возможность более широкого использования методов экспертных оценок, поскольку в ходе опроса специалистов-практиков вопросы экспертам могут быть заданы в наиболее понятной им форме.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >