Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Медицина arrow Медицинская и биологическая физика

Элементы высшей математики

Математические методы долгое время плодотворно используются в медицине для количественного описания и моделирования физиологических процессов, обработки и анализа медицинских данных, создания моделей возникновения, развития и прогнозирования заболеваний, для решения других важнейших задач.

Даже для общего знакомства с принципами и возможностями медицинского применения математических методов необходимо иметь представление соответствующем математическом аппарате, в частности об основополагающих разделах высшей математики — дифференциальном и интегральном исчислении.

Производная функции

Количественно описать сложные изменяющиеся процессы жизнедеятельности с помощью элементарной математики невозможно, поскольку используемые для этой цели математические величины должны сами обладать способностью к «движению». Высшая математика, в отличие от элементарной, оперирует зависимостями и величинами, подверженными изменениям, происходящим по определенным законам.

Геометрический смысл производной

Рис. 1.1. Геометрический смысл производной

Величиной, определяющей темп изменения функциональных зависимостей в высшей математике, является производная функции. Для пояснения этого понятия рассмотрим рис.

1.1, где графически представлена некоторая произвольная функциональная зависимость У = f(x).

Отметим на графике некоторые значения аргумента хх и х2, разница между которыми есть приращение аргумента: Дх = х2 - хг. Приращение функции равно: Ау-у2 - У. Для

непрерывных функций, если Ах —> 0, то и Ау —> 0. Однако к

А у

чему стремится отношение —— при неограниченном убыва-

Ах

нии Ах заранее сказать нельзя, это зависит от конкретного вида функции у(х) и характеризует темп ее изменения.

Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при его неограниченном убывании. Производная функции

одного аргумента обозначается у' или . Таким образом,

dx

Производная функции имеет простой геометрический смысл. Из рис. 1.1 видно, что отношение

где a — угол наклона секущей АВ к оси абсцисс.

Если Ах неограниченно убывает (х2 стремится к хх), то секущая вырождается в касательную к графику функции в точке А, наклоненную к оси абсцисс под углом а0:

Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что тангенс угла между касательной, проведенной к графику функции в данной точке, и осью абсцисс численно равен значению производной функции в данной точке.

К физическому смыслу производной подойдем, рассмотрев механическое движение. Если за время Af тело проходит путь AS, то средняя скорость движения за это время

Но на пути AS скорость может иметь различные мгновенные значения (имгн), которые определяются как предел отношения AS к At при At —> 0:

Следовательно, мгновенная скорость движения в данной точке представляет собой значение в данный момент времени производной от пути по времени.

Итак, производная по времени имеет смысл скорости некоторого процесса. Если рассматривается ускорение (а) механического прямолинейного движения, то мгновенное ускорение представляет собой первую производную от скорости или вторую производную от пути:

Следовательно, вторая производная пути по времени имеет физический смысл ускорения.

Если некоторая величина у зависит от пространственной

dy

координаты х, то производная —:— характеризует скорость

dx

пространственного изменения величины у. Производная функции по пространственной координате называется градиентом этой функции.

Пояснение понятия «градиент концентрации»

Рис. 1.2. Пояснение понятия «градиент концентрации»

Поясним смысл градиента. Например, некоторое вещество неравномерно распределено вдоль координаты х, т.е. его концентрация С является неко-

торой функцией х (рис. 1.2). Тогда скорость изменения концентрации вдоль х опре-

~ dC

деляется производной - и

dx

называется градиентом концентрации.

Аналогично существуют градиенты давления, температуры и других величин. В физике и математике градиент

df

—— — это вектор, который направлен в сторону возрастания dx

величины f.

Градиенты характеризуют неравномерность распределения величины в пространстве и являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в физических и биологических системах.

Так, наличие градиента концентрации является причиной и количественной мерой диффузии, заставляющей молекулы вещества распределяться более равномерно, перемещаясь в направлении меньшей концентрации, т.е. противоположно вектору градиента концентрации. Аналогично перенос тепла в некотором направлении (теплообмен) возникает при наличии градиента температуры; движение электрически заряженных частиц побуждается градиентом электропотенциала и т.п.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы