Нормальный закон распределения случайной величины

Нормальный закон распределения играет исключительно важную роль в теории вероятностей. Во-первых, это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения непрерывных случайных величин. Во-вторых, он является предельным законом, так как к нему при определенных условиях приближаются другие законы распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется формулой для плотности вероятности, подобной известной фун-

2

кции Гаусса (у = е ^х ), поэтому иногда его называют также законом распределения Гаусса:

где х — текущие значения случайной величины X; М(Х) и а — ее математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение, которые полностью определяют функцию /(*)•

Эта функция подчиняется условию нормировки (3.5).

Таким образом, если случайная величина распределена по нормальному закону, то достаточно знать только два числовых параметра: М(Х) и ст, чтобы полностью знать закон ее распределения (3.14).

График функции (3.14) называют нормальной кривой распределения (кривой Гаусса). Он имеет симметричный вид относительно ординаты х - М(Х). Максимальная плот-

1 0,4

ность вероятности, равная —т= ~-, соответствует мате-

ау2л а

Рис. 3.5. Вид кривой нормального распределения случайной величины X

матическому ожиданию М(Х) = X; по мере удаления от нее плотность вероятности f(x) симметрично спадает, постепенно приближась к нулю (рис. 3.5). Изменение значения М(Х) в формуле (3.14) не меняет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси абсцисс.

Величина М(Х) называется также центром рассеяния, а среднее квадратичное отклонение а определяет ширину и высоту кривой распределения (рис. 3.6). С возрастанием а величина максимума убывает, а сама кривая становится более пологой, растягиваясь вдоль оси абсцисс, тогда как при уменьшении а кривая сужается и вытягивается вверх.

Рис. 3.6. Вид кривой нормального распределения при разных значениях а (а₃<а₂<а_а)

При этом площадь под кривой распределения всегда равна 1, независимо от значений М(Х) и а, подчиняясь условию нормировки

(3.5).

Нормальное распределение симметрично, так как

При нормальном распределении

вероятность попадания значений случайной величины X в любой заданный интервал (х_1г х₂) можно вычислить по формуле

На практике часто встречается задача нахождения вероятности попадания значений нормально распределенной случайной величины в интервал, симметричный относительно М(Х). В частности, рассмотрим важную в прикладном отношении задачу. Отложим вправо и влево от М(Х) отрезки, равные а, 2а и За (рис. 3.7), и найдем вероятности попадания величины X в соответствующие интервалы:

Из формулы (3.18) следует, что значения нормально распределенной случайной величины X с вероятностью Р = 99,73 % лежат в интервале М(Х) ± За, иначе говоря, в этот интервал попадают практически все возможные значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен как «правило трех сигм».

Рис. 3.7. К вероятности попадания значений случайной величины X в интервалы М(Х) ± а, М(Х) ± 2а, М(Х) ± За

Пример. Известно, что для человека pH крови является нормально распределенной величиной со средним значением (математическим ожиданием) 7,4 и стандартным отклонением 0,2. Определите диапазон возможных значений этого параметра.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся «правилом трех сигм». С вероятностью, равной 99,73 %, можно утверждать, что диапазон значений pH для человека составляет 7,4 ± 3 • 0,2, т.е. 6,8 - 8.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Какие величины называют случайными? Какие случайные величины называют дискретными, а какие — непрерывными? Приведите примеры.
• 2. Как задают распределение дискретной случайной величины? Что представляет собой условие нормировки?
• 3. Как задают распределение непрерывной случайной величины? Что представляет собой условие нормировки?
• 4. Дайте определение и объясните смысл числовых характеристик распределения случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, мода, медиана).
• 5. Как найти числовые параметры распределения дискретной случайной величины?
• 6. Как найти числовые параметры распределения непрерывной случайной величины?
• 7. Каковы свойства нормального распределения непрерывной случайной величины?