МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ В РОБОТОТЕХНИКЕ

Рассмотрим применение однородных координат и однородной матрицы преобразования координат в прямой задаче кинематики манипулятора. Ниже, для систематического подхода к описанию расположения звеньев манипулятора относительно абсолютной системы координат, будем использовать матричную и векторную алгебру. Так как звенья манипулятора могут совершать вращательное и поступательное движение относительно абсолютной системы координат, для каждого звена определяется связанная система координат, оси которой параллельны осям сочленений звеньев. Прямая задача кинематики сводится к определению матрицы преобразования, устанавливающей связь между абсолютной и связанной системой координат. Для описания вращательного движения связанной системы координат относительно абсолютной используется матрица поворота размерностью 3x3, для представления векторов положения в трехмерном пространстве применяются однородные координаты, а для учета поступательного движения связанной системы координат вместо матрицы поворота используется матрица однородного преобразования размерностью 4x4'. Описание точек трехмерного пространства однородными координатами позволяет ввести в рассмотрение матричные преобразования, содержащие одновременно поворот, параллельный перенос, изменение масштаба и преобразование перспективы. В общем случае изображение TV-мерного вектора вектором размерностью N+1 называется представлением в однородных координатах Р = (рх, ру, pz)T, а физический TV-мерный вектор получается делением однородных координат на (ЛН-7)-ю компоненту:

Представление трехмерного вектора положения в однородных координатах не единственно. Например, />, = (w,px, w,py, wpz, w,)r иp2 = (w^, wj), w^pz, w2)T являются различными представлениями

1 В англоязычной литературе такое описание называют представлением Дена- вита-Хартенберга. В русскоязычной литературе часто этот метод называют методом связанных координат или методом присоединенных координат.

одного и того же вектора . Таким образом, четвертую

компоненту w можно рассматривать как масштабирующий множитель. Если эта компонента равна 1, то однородные координаты вектора положения совпадают с его физическими координатами. В робототехнике масштабирующий множитель всегда выбирается равным 1, хотя в задачах машинной графики и технического зрения он принимает любые положительные значения.

Однородная матрица преобразования представляет собой матрицу 4x4, которая преобразует векторр = х, ру, р2)т, выраженный в однородных координатах, из одной системы координат (связанной Ouvw) в другую систему координат (абсолютную Oxyz), то есть

Однородная матрица преобразования может быть разбита на четыре подматрицы:

Верхняя левая подматрица размерностью 3x3 представляет матрицу поворота — матрицу преобразования трехмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его координаты из повернутой (связанной Ouvw) системы координат в абсолютную систему координат; верхняя правая подматрица-столбец 3x1 представляет собой вектор положения начала координат повернутой СК относительно абсолютной; нижняя левая подматрица-строка 1x3 задает преобразование перспективы (в робототехнике состоит из нулей); нижняя правая подматрица-элемент является глобальным масштабирующим множителем (в робототехнике всегда равен 1).

Используя понятие матрицы преобразования и однородных координат, можно сформировать однородные матрицы преобразования. Однородная матрица поворота получается соответствующим расширением обычной матрицы поворота 3x3. Так, матрицы элементарных поворотов вокруг осей Ox, Оу, Oz на углы а, ф, 0, соответственно, будут иметь следующий вид:

Верхняя правая подматрица 3x1 однородной матрицы преобразования задает параллельный перенос системы координат Ouvw относительно абсолютной систему координат Oxyz на вектор (dx, dy, dz)T:

и называется однородной матрицей элементарного сдвига.

Левая нижняя подматрица 1x3, как уже говорилось, определяет преобразование перспективы, используемое в задачах машинного зрения и при калибровке изображений. В робототехнике все элементы этой матрицы нулевые, что соответствует нулевому преобразованию перспективы.

Диагональные элементы однородной матрицы преобразования определяют локальное и глобальное изменения масштаба. Первые три диагональных элемента задают локальное растяжение / сжатие масштаба:

Легко видеть, что значения координат претерпевают изменение масштаба, определяемое значениями диагональных элементов а, Ь, с. Заметим, что матрицы элементарных поворотов не дают эффекта локального изменения масштаба, т.к. они унимодулярные — их определители равны по модулю единице. Четвертая подматрица определяет глобальное преобразование масштаба:

где s > 0. Физические декартовы координаты вектора будут равны:

Таким образом, четвертый диагональный элемент однородной матрицы преобразования определяет глобальное сжатие координат, если s > 1, и растяжение, если 0 < s < 1.

Итак, однородная матрица преобразования переводит вектор, заданный однородными координатами в системе координат Ouvw, в абсолютную систему координат Oxyz, то есть при w = 1:

и

Рассмотрим геометрический смысл матрицы преобразования. Выберем в системе координат Ouvw точку с координатами (0, 0, 0, 1)г, то есть puvw совпадает с началом этой системы координат. В этом случае верхняя правая подматрица 3x1 характеризует положение точки начала связанной системы координат в абсолютной системе координат. Далее выберем точку (1, 0, 0, )т, то есть, вектор Puvw = К является ортом оси Ои. Кроме того, предположим, что начала обеих систем координат совпадают. Это приводит к тому, что все элементы верхней правой подматрицы 3x1 равны нулю. Тогда первый столбец — вектор п в (П1.8) — однородной матрицы преобразования определяет координаты единичного вектора оси Ои в абсолютной системе координат Oxyz. Аналогично, беря точки (0, 1, 0, 1)г и (0, 0, 1, 1)г, легко видеть, что второй и третий столбец — векторы s и а — однородной матрицы преобразования (П1.8) определяют соответственно орты осей Ov и Ow в абсолютной системе координат. Таким образом, если задана абсолютная система координат и однородная матрица преобразования Т, то векторы- столбцы подматрицы поворота представляют собой орты осей связанной системы координат, заданные своими координатами в абсолютной системе координат, то есть задают ориентацию основных осей системы координат Ouvw относительно абсолютной Oxyz. Четвертый вектор-столбец этой матрицы — вектор р — задает положение начала системы координат Ouvw относительно абсолютной

Oxyz. Таким образом однородная матрица преобразования в геометрическом смысле определяет расположение повернутой СК (положение и ориентацию) по отношению к абсолютной СК.

Поскольку операция обращения подматрицы поворота совпадает с операцией транспонирования, то векторы-строки подматрицы поворота задают положение основных осей абсолютной СК относительно повернутой СК. Однако для однородной матрицы операции обращения и транспонирования не совпадают. Положение начала абсолютной СК относительно повернутой СК можно определить лишь после того, как определена матрица, обратная матрице однородного преобразования. В общем случае такая матрица имеет вид

Таким образом, из равенства (П1.9) видно, что векторы-столбцы матрицы, обратной к однородной матрице преобразования, определяют положение основных осей абсолютной системы координат Oxyz относительно повернутой системы координат Ouvw. Верхняя правая подматрица размерностью 3x1 характеризует положение начала абсолютной системы координат относительно повернутой.

Рассмотрим однородную матрицу композиции преобразований.

Однородная матрица композиции преобразований может быть получена путем перемножения однородных матриц элементарных поворотов и сдвигов. Однако, поскольку операция умножения некоммутативна, особое внимание следует обратить на порядок перемножения этих матриц. При определении однородной матрицы композиции преобразований полезны следующие правила:

  • 1. Вначале обе системы координат совпадают, и, следовательно, однородная матрица преобразования представляет собой единичную матрицу /4!;
  • 2. Если подвижная система координат совершает поворот / сдвиг относительно осей абсолютной системы координат, то матрицу предыдущего результирующего преобразования надо умножить слева на соответствующую матрицу элементарного поворота / сдвига;
  • 3. Если подвижная система координат совершает поворот / сдвиг относительно одной из своих собственных осей, то матрицу преды- 1 Часто эту матрицу не пишут в числе сомножителей.

дущего результирующего преобразования надо умножить справа на соответствующую матрицу элементарного поворота / сдвига.

Пример П1.1. Две точки auvw = (4, 3, 2)т и buvw = (6, 2, 4)г требуется сместить на +5 единиц вдоль оси Ох и на (—3) единицы вдоль оси Oz. Определить координаты точек в абсолютной С К после этих смещений с помощью матричных преобразований.

Решение.

Смещенные точки имеют следующие координаты: axyz = (9, 3, -I)7 и 4^ = (11, 2, 1)Т

Пример П1.2. Требуется определить матрицу Т, задающую преобразование, состоящее из поворота на угол а вокруг оси Ох, затем смещения на b единиц вдоль оси Ov.

Решение. Имеем в результате первого преобразования

И в результате второго преобразования

Таким образом, окончательно имеем матрицу заданного преобразования:

Пример П1.3. Определить матрицу преобразования, задающую следующую последовательность преобразований: поворот на угол а вокруг оси Ох, сдвиг на а единиц вдоль оси Ох, сдвиг на d единиц вдоль оси Oz и затем поворот на угол 0 вокруг оси Oz.

Решение.

Рассмотрим, какими параметрами пользуются в методе присоединенных координат для описания звеньев механизма и кинематических пар. Если связать наши две системы координат (Ouvw и Oxyz) со звеньями манипулятора, например, с /-м и (/ — 1)-м звеньями, соответственно, то система координат (/' — 1)-го звена будет абсолютной системой координат по отношению к подвижной системе координат /-го звена. Следовательно, используя матрицу преобразования Т, мы по известным координатам точки в системе координат /-го звена можем получить координаты этой точки в системе координат (/ — 1)-го звена:

Манипулятор состоит из звеньев, соединенных вращательными или поступательными соединениями (рис. П.1.1). Каждая пара, состоящая из звена и сочленения, обеспечивает 1 степень свободы. Следовательно, манипулятор с N степенями свободы содержит N пар звено — шарнир, причем звено 0 соединено с основанием, где обычно размещается базовая инерциальная система координат данной динамической системы, а последнее звено снабжено рабочим органом. Звенья и сочленения нумеруются по возрастанию от стойки к схвату манипулятора; так, сочленением 1 считается точка соединения звена / и опорной стойки. Каждое звено соединено не более чем с двумя другими звеньями так, чтобы не образовывалось замкнутых контуров в кинематической цепи.

П.1.1. Звенья и сочленения манипулятора Пума

Рис. П.1.1. Звенья и сочленения манипулятора Пума

П.1.2. Система координат звена и ее параметры

Рис. П.1.2. Система координат звена и ее параметры

В месте соединения двух звеньев определяется ось /-го сочленения — ось, перпендикулярная к плоскости, в которой лежат оба звена этого сочленения (рис. П.1.2). Эта ось имеет две пересекающие ее нормали, каждая из которых соответствует одному из ее звеньев. Относительное положение двух соединенных звеньев ((/ — 1)-го и /-го) определяется величиной dt расстоянием между нормалями, отсчитываемыми вдоль оси сочленения. Присоединенный угол 0, — угол между нормалями в плоскости, перпендикулярной оси сочленения. Таким образом, dt и 0, можно назвать расстоянием и углом между смежными звеньями. Они определяют относительное положение двух звеньев.

Звено / соединено не более чем с двумя другими звеньями ((/ — 1) и (/ +1)-м звеньями). Таким образом, в точках соединения /-го звена с соседними можно определить две оси сочленений. Важное свойство звеньев с точки зрения кинематики состоит в том, что они сохраняют неизменной конфигурацию относительного расположения соседних сочленений, характеризуемую параметрами длины я, и скрутки ос, /-го звена. В качестве параметра я, выбрано кратчайшее расстояние между осями г, _, и г, /-го и (/ +1)-го сочленений, соответственно, измеряемое вдоль их общей нормали, а,. — угол между осями этих сочленений, измеряемый в плоскости, перпендикулярной их общей нормали. Эти два параметра, длина я, и скрутка а, характеризуют конструктивные особенности /-го звена.

Итак, с каждым звеном манипулятора связаны четыре параметра я,, а„ di и 0,.. Если для них установить правило выбора знаков, то они составят набор, достаточный для описания кинематической схемы каждого звена.

Если сформировать матрицу преобразования, описывающую вращательные и поступательные связи системы координат каждого звена относительно системы координат предыдущего звена (П.1.10), то появится возможность последовательно преобразовывать координаты схвата манипулятора из системы координат, связанной с последним звеном, в базовую систему координат. Кроме базовой системы координат, для каждого звена на оси его сочленения определяется ортонормированная декартова система координат Оху& с ортами (х,., уп z,) (/ = 1, 2, ..., п), где п — число сте- пенй свободы манипулятора, которая называется присоединенной системой координат[1]. Поскольку вращательное сочленение имеет только 1 степень свободы, каждая присоединенная система координат соответствует (/ +1)-му сочленению и связана с /-м звеном. Когда силовой привод начинает движение в /-м сочленении, /-е звено начинает двигаться относительно (/' — 1)-го звена. Поскольку /-ая система координат связана с /-м звеном, она движется вместе с ним. Таким образом «-ая система координат движется вместе с последним звеном манипулятора. Базовой же является нулевая система координат, представляющая инерциальную систему координат механизма. Так, для шестизвенного манипулятора Пума (рис. П.1.3) определены 7 систем координат: (х0, у0, z0), (*,, yv ?,), •••> (x6,y6,z6).

Каждая присоединенная система координат формируется на основе следующих трех правил:

  • 1. ось Zj _ | направлена вдоль оси /-го сочленения (значит ось Zj направлена вдоль оси (/ +/)-го сочленения);
  • 2. ось*, перпендикулярна оси zt_ и направлена от нее;
  • 3. ось yiдополняет оси х, и Zj до правой декартовой системы координат.

Эти правила дают свободу в выборе 0-й системы координат при условии, что ось Zq направлена вдоль оси первого сочленения. Последняя, «-ая система координат также может быть выбрана в произвольной точке «-го звена при условии, что ось хп перпендикулярна оси zn _ ]• Метод присоединенных координат оперирует четырьмя геометрическими параметрами а„ di и 0, каждого звена.

Для вращательных сочленений параметры ар a,, di являются характеристиками сочленения, постоянными для данного типа робота. В то же время 0, является переменной величиной, изменяющейся при движении (вращении) /-го звена относительно (/ — 1)-го звена. Для поступательных сочленений ос, и 0,. — неизменные характеристики для данного робота, a dt переменная величина. Поэтому о величинах 0, (если сочленение вращательное) или dj (если сочленение поступательное) говорят как о присоединенных переменных, а величины а„ dt (если сочленение вращательное) и а„ 0, (если сочленение поступательное) называют присоединенными постоянными.

Как только присоединенные системы координат сформированы для всех звеньев, можно построить однородные матрицы преобразования, связывающие /-ю и (/ — 1)-ю системы координат. Из рис. П.1.2 видно, что координаты точки заданные в /-й системе координат, можно преобразовать в координаты /*, _, этой же точки относительно (/ — 1)-й системы координат, выполняя последовательность следующих операций:

  • 1. поворот вокруг оси Zj _, на угол 0,., чтобы ось хI _, стала сона- правлена с осью х,.;
  • 2. сдвиг вдоль оси Zj_ t на расстояние dt, чтобы совместить оси
  • 1 их,.;
  • 3. сдвиг вдоль оси х, на расстояние чтобы совместить начала систем координат;
  • 4. поворот вокруг оси х, на угол ос„ в результате которого достигается совпадение систем координат.

Каждую из этих четырех операций можно описать матрицей элементарного поворота / сдвига, а произведение таких матриц даст матрицу сложного преобразования '~А, называемую матрицей

преобразования смежных систем координат или смежной матрицей.

Обозначим в дальнейших формулах С, = cos 0„ -S', = sin 0„ Ctj = = cos (0, + 0у) и Sy = sin (0, + 0.) и аналогично для других углов, с добавлением символа угла, например, Са,. Таким образом, получаем

Используя (П.1.9), найдем обратную матрицу:

где я,., a,., dt константы, а 0, — присоединенная переменная, если рассматриваемое сочленение — вращательное.

П.1.3. Формирование присоединенных систем координат звеньев манипулятора Пума

Рис. П.1.3. Формирование присоединенных систем координат звеньев манипулятора Пума

Для поступательного сочленения присоединенной переменной является //., а константами — ар а„ 0,. В этом случае смежная матрица (А примет вид

а обратная матрица — вид

Используя смежную матрицу 1 -А, можно связать однородные

координаты точки р относительно /-й системы координат (точка р в /-й системе координат покоится) с однородными координатами этой точки относительно

(/' — 1)-й системы координат. Эта связь устанавливается равенством

Пример П.1.4. Определение смежных матриц для манипулятора Пума. Для шестизвенного манипулятора Пума, представленного на рис. П.1.1 и П. 1.3, смежные матрицы, вычисляемые по (П.1.11), равны

Однородная матрица определяющая положение /-й системы координат относительно базовой системы координат, представляет собой произведение матриц ,• А и имеет вид

где - матрица 3x3 (верхняя левая подматрица матрицы

°/Г), определяющая ориентацию /-й системы координат, связанной с /-м звеном, по отношению к базовой системе координат, api вектор

О гут

(верхняя правая подматрица-столбец матрицы т размерности 3x1),

соединяющий начало базовой системы координат с началом /'-й системы координат. В частности, при / = 6 получаем матрицу

где (см. рис. П.1.14):

п — вектор нормали к охвату. В случае плоскопараллельного движения пальцев охвата этот вектор перпендикулярен пальцам манипулятора;

s — касательный вектор схвата. Он лежит в плоскости движения пальцев схвата и указывает направление движения пальцев во время открытия и закрытия схвата;

а — вектор подхода схвата. Он направлен по нормали к ладони схвата (т.е. перпендикулярен плоскости крепления инструмента в схвате);

р — вектор положения схвата. Он направлен из начала базовой системы координат к началу системы координат схвата, которое, как правило, расположено в точке, являющейся геометрическим центром полностью сжатых пальцев.

П.1.4. Система координат схвата

Рис. П.1.4. Система координат схвата

Если положение манипулятора в абсолютной системе координат определяется матрицей В, а в схвате манипулятора зафиксирован инструмент, положение которого в системе координат схвата определяется матрицей Н, то положение рабочего органа инструмента относительно абсолютной системы координат дается формулой

При этом

Решение прямой задачи кинематики для шестизвенного манипулятора является, таким образом, вопросом вычисления матрицы

с помощью последовательного перемножения шести

смежных матриц Отметим, что решение прямой задачи кинематики приводит к единственной матрице при заданных обобщенных координатах = (#,, q2,..., q6)Tи фиксированных системах координат, где <7, = 0, для вращательного сочленения и <7, = d( для поступательного сочленения.

При перемножении матриц можно использовать метод, позволяющий упростить вычисления: перемножить группы матриц, напр. , а затем перемножить полученные промежуточные матрицы, получив таким образом матрицу манипулятора Т = ТХ Т2. Для робота Пума-560 промежуточные матрицы и матрица манипулятора имеют вид (рис. П. 1.3):

где:

Положив для проверки 06 = 0°, имеем

что согласуется с выбором систем координат, показанным на рис. П.1.3.

Рассмотрим далее представление матриц поворота через углы Эйлера.

Матричное описание вращения твердого тела упрощает многие операции; однако это описание можно произвести разными способами. Например, в качестве обобщенных координат можно использовать углы Эйлера ср, 0, р. Существует много различных систем углов Эйлера (они отличаются последовательностью поворотов вокруг осей и порядком этих осей) и все они описывают ориентацию тела относительно некоторой заданной системы координат. Приведем три наиболее часто используемые системы этих углов — последовательности поворотов и порядок осей.

Первая система углов Эйлера (рис. П.1.5, а) — обычно используется при описании движения гироскопов: 1) на (р вокруг оси Oz 2) на 0 вокруг оси Ои; 3) на |/ вокруг оси Ow.

Результирующая матрица поворота имеет вид

Поворот, описываемый этой матрицей, может быть также получен в результате следующей последовательности поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол |/ вокруг оси аппликат Oz, затем на 0 вокруг оси абсцисс Ох и, наконец, вокруг оси аппликат Oz на угол ср.

П.1.5. Системы углов Эйлера

Рис. П.1.5. Системы углов Эйлера: а) первая, б) вторая и в) третья

Вторая система углов Эйлера (рис. П.1.5, б): 1) на ср вокруг оси Oz', 2) на 0 вокруг оси Ov; 3) на |/ вокруг оси Ow.

Результирующая матрица поворота имеет вид

Поворот, описываемый этой матрицей, может быть также получен в результате следующей последовательности поворотов вокруг осей неподвижной системы координат: сначала на угол ц/ вокруг оси аппликат Oz, затем на 0 вокруг оси ординат Оу и, наконец, вокруг оси аппликат Oz на угол <р.

Третья система углов Эйлера (рис. П.1.5, в) — часто называются углами крена, тангажа и рысканья и применяются в авиационной технике: 1) на <р вокруг оси Ох (рысканье); 2) на 0 вокруг оси Оу (тангаж); 3) на ц/ вокруг оси Oz (рысканье).

Результирующая матрица поворота имеет вид

Поворот, описываемый этой матрицей, может быть также получен в результате следующей последовательности поворотов вокруг осей неподвижной и подвижной систем координат: сначала на угол ф вокруг оси аппликат Oz, затем на 0 вокруг оси ординат Ov и, наконец, вокруг оси абсцисс Oz на угол |/.

Рассмотрим также здесь описание ориентации с помощью углов Эйлера. В этом случае матрица манипулятора (П.1.17) при использовании первой системы углов Эйлера примет вид

а при использовании углов крена, тангажа и рысканья вид

В окончание приведем подматрицы положения в цилиндрических и сферических координатах. Результирующую матрицу манипулятора в этих случаях можно получить из следующего равенства:

где —матрица поворота, выраженная через углы Эйлера или через векторы [п, s, а].

Так, в цилиндрической системе координат положение схвата определяется следующим образом (рис. П.1.6, а): 1) сдвиг на г единиц вдоль оси Ох (Тх г); 2) поворот на угол ос вокруг оси Oz (Tza); 3) сдвиг на d единиц вдоль оси Oz (Tzd).

Матрицу преобразования, определяющую результат этих преобразований, можно представить в следующем виде:

Поскольку нас интересует только вектор положения (то есть четвертый столбец матрицы Гцил), матрицу манипулятора можно представить в виде (П.1.24):

Рис. П.1.6. Представление в: а) цилиндрических и б) сферических координатах

В сферической системе координат положение схвата определяется следующими преобразованиями (рис.П. 1.6, б): 1) сдвиг на г единиц вдоль оси Oz (Tzr); 2) поворот на угол (3 вокруг оси Оу (Ty f); 3) поворот на угол а вокруг оси Oz (Tza).

Матрица этих преобразований равна

Как и выше, эту матрицу можно представить в виде (П.1.24):

  • [1] Именно поэтому в нашей литературе координатный метод и называют методом присоединенных координат.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >