ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ СВЯЗИ

Оптимальный прием сигналов, известных точно. Критерии оптимального приема

Целью оптимального приема является повышение верности принимаемых сообщений. Задача приема решается выбором структуры приемника. Структура приемника, удовлетворяющая заданному критерию оптимальности, называется оптимальной, а приемник — оптимальным. Приемник анализирует принятую смесь сигнала и помехи (шума):

в течение заданного времени и принимает решение о том, какой из возможных сигналов присутствует в этой смеси. С приходом следующего сигнала анализ повторяется. В § 1.4 указано на два способа обработки смеси сигнала и шума: посимвольный прием и прием в целом.

При посимвольном приеме решаются задачи:

  • 1) обнаружения сигнала;
  • 2) различения (распознавания) одного из двух сигналов.

Первая задача возникает при приеме двоичного АМ сигнала

  • (см. п. 3.4.4). При передаче информационного символа 0 сигнал на входе канала отсутствует, а при передаче 1 — присутствует. Приемник, анализируя смесь сигнала и шума в течение единичного (тактового) интервала ти, даст ответ: есть на входе канала сигнал или его нет, т.е. определяет переданный символ.
  • 295

Вторая задача возникает при приеме двоичных ЧМ и ФМ сигналов (см. п. 3.5.4, п. 3.6.2). При передаче информационного символа 0 сигнал на входе канала равен щ(?), а при передаче символа 1 равен и2(?). Приемник, анализируя смесь сигнала и шума в течение единичного интервала ти, дает ответ, какой из двух символов передан по каналу связи.

Прием в целом связан с решением задачи распознавания одного из множества т > 2 сигналов. Приемник, анализируя смесь сигнала и шума в течение времени Т > ти, дает ответ, какой из т сигналов присутствует в смеси, и в соответствии с кодовой таблицей определяет переданное по каналу двоичное слово блока (см. п. 3.5.4,

3.6.3, 3.7.3).

Впервые задача оптимального приема была поставлена и решена в 1946 г. выдающимся русским ученым В.А. Котельниковым.

Рассмотрим задачу посимвольного приема двоичных (бинарных) сигналов на фоне нормального белого шума. Форма сигналов известна точно, т.е. задана детерминированными функциями времени щ(Р), ?=1,2. Сигналы имеют одинаковую длительность ти, равную длительности единичного интервала, причем границы этого интервала известны заранее. Выполнение последнего условия обеспечивается с помощью устройств тактовой синхронизации.

Информационные символы изменяются в соответствии с передаваемой информацией и поэтому до обработки па приемном конце неизвестны.

Для исследования оптимального приема воспользуемся моделью дискретно-непрерывного канала. На его входе присутствуют двоичные символы 0, 1 (буквы аи а2), которым соответствуют известные формы сигналов с априорными вероятностями, равными соответственно Р[щ(р)], Р[и2{Р), причем их сумма равна 1.

На выходе канала смесь сигнала и шума является непрерывной реализацией случайного процесса. Полагая, что спектр смеси ограничен верхней граничной частотой Р„, представим эту реализацию выборочными значениями г(р), ?=1,2,..., п, которые следуют через равные интервалы времени = 1/(2Рв). Число выборочных значений в интервале наблюдения смеси равно

Случайный процесс г(?) считается заданным, если задана его 77-мерная плотность вероятности:

где

Здесь Р(г/1; уь ..., уп) — интегральная функция распределения; Р — соответствующая вероятность.

Зная 77-мерную плотность, можно вычислить вероятность реализации смеси сигнала и шума

где — я-мерный неслучайный вектор, определенныйсовокупностью значений неслучайных аргументов;

— бесконечно малая область 77-мерного пространства (интегрирование производится по этой бесконечно малой области).

Выделим некоторую ограниченную область 77-мерного пространства, полагая, что исследуемые случайные векторы не выходят за ее границы. Кроме того, появление конкретного вектора свяжем с появлением на выходе дискретно-непрерывного канала некоторой буквы 6, из бесконечного множества подобных букв. Это событие зависимо и совместно с другим событием, которое заключается в присутствии на входе канала одной из двух букв [сигналов т/г(?), 7 = 1, 2]. Математическое описание событий ггг и исчерпывается совместной вероятностью

где Р(Ьу) вероятность реализации смеси ?(?) в интервале (0, ти); Р(яг) — априорная вероятность сигнала; Р(<2г/6,) — условная вероятность, равная апостериорной вероятности сигнала; Р{Ь^а^ — функция правдоподобия.

Из формулы (7.3) найдем выражение для апостериорной вероятности:

Вероятность Р(Ь;/а,) может быть найдена по «-мерной условной плотности вероятности:

Эта плотность где

В п. 5.2.2 показано, что функция правдоподобия (7.6) равна «-мерной плотности распределения вероятности шума. Там же приведено и выражение для функции правдоподобия. Безусловная (7.1) и условная (7.6) «-мерная плотности распределения вероятностей существенно различаются: если ансамбль реализаций г(?), определяющих первую плотность, включает реализации, связанные как с первым, так и со вторым сигналом, то ансамбль второй плотности включает только реализации, связанные или с первым, или со вторым сигналом.

В п. 6.1.1 рассмотрена передача символов по дискретному каналу связи с помехами и определена мера количества извлекаемой информации. Эта мера определяется равенством (6.4).

По аналогии можно определить количество информации, передаваемой по дискретно-непрерывному каналу:

если на его входе присутствует символ а{, и

если на входе присутствует символ а2-

Разность этого количества информации:

Подставляя в формулу (7.7) формулу (7.4), получим

Выразим значение вероятностей через условные плотности распределения вероятности по формуле (7.5). В результате получим

где — отношение апостериорных (после-

опытных), условных плотностей вероятности. Оно определяет правдоподобие гипотез о передаче сигналов «,?(?), ?=1,2.

Если выполняется неравенство

то наиболее вероятно, что был передан сигнал щ(?), а если не выполняется, то наиболее вероятно, что был передан сигнал и^(ф).

Правило (7.10) принятия решения называется информационным критерием оптимальности приемника.

Другим критерием оптимальности является следующее неравенство:

Оно получено вычислением апостериорных вероятностей по формулам (7.2), (7.4) и (7.5) и сравнением их между собой. Критерий (7.11) называется критерием максимальной обратной вероятности.

Если неравенство (7.11) выполняется, то принимается решение, что принят сигнал и^б). В противном случае принимается решение, что принят сигнал ^2(0Соотношение (7.11) можно записать также в виде

Полученный критерий называется критерием максимума отношения правдоподобия. Если априорные вероятности равны, то Л > 1. Логарифмируя это неравенство, получим: log А > 0, т.е. информационный критерий. Из этого следует, что принятие решения о возможных принимаемых сигналах на основе информационного критерия основано на сравнении количества информации, извлекаемой из смеси сигнала и шума об этих сигналах. Если при приеме учитываются и априорные вероятности сигналов, то этот прием реализуется на основе критерия максимума отношения правдоподобия, а если нет, то на основе информационного критерия.

При приеме одного из множества т сигналов (т > 2) оптимальный приемник вычисляет апостериорные вероятности, а затем принимает решение. Правило принятия решения записывается в виде

где P[Uj(t)], P[uj(t)] — априорные вероятности г-го и j-го сигналов; w[y/ui(t), w[y /и,(?)] — функции правдоподобия г-го и j-го сигналов, причем сумма всех априорных вероятностей сигналов равна 1.

Вычисленные апостериорные вероятности попарно сравниваются между собой и после этой операции те вероятности, которые оказались больше, вновь попарно сравниваются между собой и т.д. Найденная по этому правилу наибольшая апостериорная вероятность определяет принимаемый сигнал.

Правило (7.13) можно записать иначе через отношение правдоподобия двух гипотез о передаче сигналов:

Все приведенные выше критерии оптимальности записаны в виде неравенств, которые позволяют определить в смеси сигнала и шума наиболее вероятный сигнал из заданного множества сигналов.

300

Другими используемыми критериями являются: критерий минимума среднего риска, весовой критерий, критерий Неймана - Пирсона. Поскольку в теории связи преимущественно применяют критерий максимума отношения правдоподобия, мы в дальнейшем будем использовать этот критерий.

Алгоритм работы приемника, работающего в соответствии с этим критерием, заключается в вычислении отношения правдоподобия на основе анализа смеси сигнала и шума и принятия решения о том, какой сигнал присутствует на входе. По этому сигналу определяется или оценка слова блока информационной последовательности, или оценка символа этой последовательности. (Оценка в тексте и на рисунках обозначена звездочкой.)

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >