Задача потребительского выбора для произвольного числа товаров

Для произвольного числа товаров п функция полезности может быть записана следующим образом:

Предельная полезность продукта под номером / определяется соотношением

Задача потребительского выбора для этого случая имеет вид:

где — функция полезности потребителя; рх, р2, ...,

рп цена на первый, второй и т.д. товар; I — бюджетное ограничение; хх, х2 , ..., х„ — количество приобретенных товаров первого, второго и т.д. типа.

Так же как и для случая двух переменных, эту задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум:

Функция Лагранжа имеет вид:

Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции Лагранжа:

Умножим уравнение под номером / на р1, а уравнение под номером у на р] и вычтем одно из другого. В результате получим

Перепишем последнее выражение в виде

Таким образом, в точке оптимума отношение предельных полезностей любых двух товаров равно отношению их рыночных цен. Если, например, товар под номером г в к раз дешевле товара под номером у , то при замене вместо одной единицы товара у надо использовать к единиц товара г. Такая замена может оказаться ненужной для покупателя. Поэтому считают, что всякое изменение ухудшает благосостояние потребителя.

Одно из уравнений из системы (4.12) для товара под номером / можно записать в виде

Здесь X* — оптимальный множитель Лагранжа, который равен отношению предельной полезности продукта под номером /, т.е.

, деленной на цену этого продукта рг Поэтому это

отношение называют предельной полезностью на денежную единицу, т.е. на рубль.

Решением задачи потребительского выбора (4.11) является оптимальный потребительский набор из п продуктов, определяемый точкой в я-мерном пространстве. Координаты оптимальной точки принято помечать звездочкой, а именно . Эта точка называется точкой спроса. Точка спроса, или оптимальное решение, зависящее от цен и бюджетного ограничения, называют функцией спроса. Функцию спроса можно представить в виде

где х* — вектор оптимальных решений; Р — вектор цен; I — бюджетное ограничение.

Представим функцию спроса в виде набора п функций:

Каждая из представленных в этой системе функций называется функцией спроса конкретного товара.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >