Номинальные шкалы
Логическая основа номинальных шкал содержится в аксиомах 1, 2 и 3. Построить такую шкалу - значит просто использовать число как название или классификацию. Аксиома 1 утверждает, что два числа либо тождественны, либо различны. Аксиома 2 утверждает, что отношение равенства симметрично: обращение высказывания о равенстве не изменяет его истинности. Аксиома 3 утверждает, что объекты, равные одному и тому же объекту, равны между собой.
Свойство тождества чисел используется для порождения бесконечного набора различных названий. Можно нумеровать программы, модули, маршруты, но это не будет означать ничего иного, кроме того, что каждый отдельный объект должен иметь различимое обозначение. Номинальные шкалы качественны, но они допускают некоторые статистические операции. Например, перечислить число объектов каждого класса и определить частоты.
Порядковые шкалы
Первое усиление номинальной шкалы происходит, когда появляется способ сравнивать два объекта по одному общему признаку, например, две программы по их длине. Упорядочивающее ее отношение (аксиома 4) асимметрично. Если сравнивать таким образом каждую пару объектов в длинном перечне и если каждая тройка объектов обнаруживает транзитивность (аксиома 5), то можно построить шкалу простого порядка. Но может возникнуть затруднение, если принцип сравнения носит расплывчатый характер. Нетранзитивности, или круговые упорядочения, также порождают неоднозначности. Например, команда А выигрывает у команды В, команда В выигрывает у команды С, но команда С выигрывает у команды А.
В шкалах простого порядка каждый объект должен иметь более высокий или более низкий ранг, чем другой элемент; частота каждого класса равна единице. Во многих практических случаях допускается, однако, равная оценка, чтобы не проводить различий за пределами точности наблюдений; частота класса может быть тогда больше единицы. Объекты на такой шкале образуют слабый порядок. Шкалы слабого порядка часто встречаются в психологических измерениях. Пусть А= В, В = С иА> С. Такой слабый порядок имеет место, когда невозможно различить, например, по громкости ни звуки А и В, ни звуки В и С. Интервал между А и С близок к абсолютной точности измерений или даже несколько выше ее.
Логическое основание слабого порядка заключается в двух отношениях: антисимметричности и транзитивности. Примером антисимметрии служит отношение > для действительных чисел. В словесной форме отношение антисимметрии выражается высказываниями типа: «А по меньшей мере так же хорошо, как В». Чтобы определить слабый порядок, можно изменить аксиомы 4 и 5 следующим образом.
- 4'. Либо А > В, либо А < В.
- 5'. Если А > В и В > С, то А > С.
Если ни А > В, ни А < В, то говорят, что А и В несравнимы. Если одновременно А > В и В < А, то получается рефлексивное отношение А = В. Несравнимость не всегда одно и то же, что и безразличие. Когда некоторые объекты перечня несравнимы по упорядочивающему отношению, остальное подмножество объектов, допускающих сравнение, образует так называемый частичный порядок. Аксиомы 4' и 5' могут быть использованы для построения множеств «безразличию).
Аксиомы упорядочения допускают те же статистические операции, что и аксиомы тождества, а именно получение частот и мод. Кроме того, ранговый порядок позволяет вычислять медианы и коэффициенты ранговой корреляции.
Объекты на шкалах порядка не обязательно располагаются равномерно по шкале. Поэтому арифметические и все другие статистические операции, кроме перечисленных, исключаются.
