Статистическая оценка вероятностей проявления неблагоприятных событий и законов их распределения

Статистическая оценка вероятностей проявления неблагоприятных событий и законов их распределения означает предположение о существовании определенных закономерностей, присущих их частоте. Эти закономерности устанавливаются на основе использования статистических методов проверки гипотез при наличии накопленной информации о количестве таких событий, их силе, датах и условиях их проявления и т.п.

Основными количественными характеристиками, выражающими общие закономерности проявления какого-либо неблагоприятного события с экологическими последствиями, является математическое ожидание и дисперсия частоты его проявления в определенный (единичный) период времени. Эти показатели могут быть определены путем усреднения данных о такого рода событиях на последовательных временных интервалах единичной длины согласно предпосылкам биномиального закона их распределения. Пусть неблагоприятное событие у-го вида (индекс у может выражать характер тяжести события) в единичном интервале времени (/, Ж) имело место пр)раз, а за Т интервалов наблюдений — /= 1, ..., Т щ раз,

где . Тогда и определяют

общее число событий за интервал / и за Г временных интервалов соответственно.

В соответствии с биномиальным распределением в предположении о неизменности причин, определяющих частоту проявления событий у-го типа, вероятности его проявления, т.е. ? . = и. раз (при яу = 0,1, ..., п), определяются согласно следующему выражению:

где qj — вероятность проявления события у-го типа.

При этом математическое ожидание случайной величины определяется так:

Дисперсия случайной величины определяется по формуле:

Из выражения (3.2) вытекает, что = М[Ъ)]]1п, а несмещенная оценка величины qj согласно методу максимального правдоподобия определяется по формуле:

Ее дисперсия находится из выражения:

Такой подход к оценке вероятностей неблагоприятных событий применяется на практике, например для оценки вероятностей аварий со значительными экологическими последствиями, которые могут произойти в следующих случаях:

  • • в процессе производства, переработки и хранения опасных веществ в стационарных условиях (возгорание, взрыв, утечка и т.п.);
  • • в ходе транспортировки экологически опасных грузов наземным, водным и воздушным транспортом (авария, пролив, потеря груза, возгорание и т.д.);
  • • при перекачке опасных грузов по трубопроводам (разрыв, утечки, взрыв, возгорание и т.д.).

Исходя из собираемой статистической отчетности по авариям каждого типа по всему миру для каждого вида деятельности и годового интервала времени (авария/год), вероятность аварии рассчитывается также в удельных показателях на единицу длины или пути (авария/год/км), на единичную операцию с опасным грузом (авария/операция) или на весь маршрут его прохождения (авария/маршрут). Это позволяет в дальнейшем получить оценки частоты аварий в зависимости от конкретных условий проводимой с опасным веществом операции.

Приведем примеры статистической информации о частоте аварий с экологически опасными веществами, накопленной в США (табл. 3.1 и 3.2).

Таблица 3.1

Статистика среднегодового общего числа аварий при транспортировке экологически опасных грузов в США

Тип аварии

Среднегодовое число аварий

Скоростные автотрассы

~12000

Железная дорога

1000

Воздушный транспорт

2000

Водный транспорт

20

Таблица 3.2

Количество крупных аварий при производстве, хранении и транспортировке химических продуктов в США в период 1964—1973 гг.

Вид деятельности

Число аварий

1

2

Химические предприятия

6

Хранение и перевозка нефти

10

Продолжение табл. 3.2

1

2

Хранение газа

1

Бурение нефтяных скважин

2

Трубопроводы

1

Аварии на морском транспорте

8

Аварии на железнодорожном транспорте

5

Аварии на автодорогах

3

Рассмотрим примеры расчета характеристик аварийности на различных объектах (видах деятельности). Статистическая информация, необходимая для оценки частот аварий с экологическими последствиями при грузовых перевозках, может быть сформирована в виде таблицы (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Состав исходных данных для оценки характеристик аварийности при перевозках по автодорогам за год

Тип показателя

Способ получения

Общее число грузовых перевозок

А (исходные данные), числа

Длина маршрута

В (исходные данные), мили

Общая протяженность перевозок

С — А- В, мили

Частота аварий

/) = С *<7, аварий/год

Частота проливов

Е = О • <7/ проливов/год

Объемы проливов, в том числе: первого уровня (~1000 гал) второго уровня (~3000 гал) третьего уровня (~10 000 гал)

Е = Е‘Цц проливов/год Е/2= Е ' проливов/год Ет,= Е-дт, проливов/год

Примечания:

  • 1) q — среднегодовая частота аварий в расчете на 1 милю пути, ава- рий/миля;
  • 2) <7, — доля аварий с проливом химического вещества в общем их количестве;
  • 3) <71/, при (/ = 1, 2, 3) — частота аварий, сформированная по объему пролива (<7ц — около 10% всего объема; <712 — в среднем 30%, <713 — 100% пролива вещества; средний объем загрузки транспорта равен 10 000 галлонов).

По данным, опубликованным в США, средняя длина маршрутов грузового транспорта при перевозке бензина составляет

28 миль, химических веществ — 60 миль. С учетом данных о количестве перевозок и числе аварий вероятность одной аварии на милю оценивается величиной 2 • 10'6, т.е. q = 2 • 10‘6 аварий на милю, тогда /) = С* 2 • 10"6 (аварий/год). Количество аварий с проливами вещества составило 20% всех аварий, т.е. ^ = 0,2, и их распределение по объемам проливов равно: #ц = 0,6; =

= 0,2; = 0,2.

Среднегодовые воздействия на окружающую среду вследствие аварий с /-й степенью тяжести, определенные по величине пролива груза, оцениваются следующим образом:

где Я=С' 2 • 10_6 • 0,2 • 0,6 • 1000 (галлонов);

/?2-С' 2 • 10_6 • 0,2 • 0,2 • 3000 (галлонов);

/?3 -2 • 10-6 • 0,2 • 0,2 • 10 000 (галлонов);

С — общая протяженность маршрута грузоперевозок.

При оценках рисков экономических потерь на уровне автопредприятия базовыми показателями, определяющими их величину, являются:

  • • вероятность аварии на автотранспорте — 2 • 10'6;
  • • вероятность пролива груза (нанесения ущерба окружающей среде) при аварии — 0,2;
  • • распределение вероятностей проливов груза по объемам
  • (0,6; 0,2; 0,2).

Аналогичным образом определяются показатели рисков экономических потерь при авариях на трубопроводах в процессе перекачки газа, нефти и т.п. В частности, по имеющейся статистической информации, вероятность аварии на трубопроводах с диаметром менее 20 дюймов оценивается величиной 10_3 км в год, трубопроводов с большим диаметром — 3 • 10'4 км в год.

Вероятность аварии в резервуарах-хранилищах с двойной оболочкой оценивается по данным отечественной и мировой статистики величиной 10_6 резерв, в год, с одинарной оболочкой — величиной 10"4 резерв, в год и т.д.

Кроме биномиального закона распределения вероятностей в теории риск-анализа при оценках рисков экономических потерь, обусловленных неблагоприятными событиями типа природных и техногенных чрезвычайных ситуаций, часто используются законы распределения Пуассона, Вейбулла и логарифми- чески-нормальное распределение.

Закон Пуассона нашел достаточно широкое применение в исследованиях рисков редких независимых событий — производственных аварий, природных чрезвычайных ситуаций типа тайфунов, смерчей и т.п. Согласно этому закону вероятность числа таких событий в единицу времени (обычно год) определяется следующим выражением:

где rij — число событий у-го вида (либо у'-ой степени тяжести) в рассматриваемый промежуток времени; cij — среднее число таких событий (математическое ожидание).

Обычно при большой интенсивности событий значение aj определяется так:

где X- — среднее число событий в единичном интервале времени;

At — число интервалов.

Закон Пуассона следует из биномиального закона в предположении, что гг р = а = const и п -> оо. При этом очевидно, что р —^ 0 , т.е. событие становится редким.

Для пуассоновского закона вероятность хотя бы одной ЧС у'-го типа в течение рассматриваемого интервала времени (промежуток времени между двумя событиями на единичном интервале) определяется величиной Qj, рассчитываемой по формуле:

Для очень редких (обычно масштабных) событий допустимо следующее равенство:

Из выражения (3.8) следует, что среднее время между редкими событиями в течение единичного периода может быть оценено по формуле:

Закон Пуассона нашел широкое применение при определении вероятностей и числа разрывов на магистральных газопроводах, которые обычно сопровождаются утечкой газа, нефтепродуктов и обусловленными ими загрязнением территории, пожарами и т.п. Интенсивность аварий X обычно рассматривается как показатель количества аварий на 100 или 1000 км в год. При известной протяженности участка газо- или нефтепровода Ь частота аварий в интервале времени Т определяется показателем а = Х1Т .

В соответствии с выражениями (3.8) и (3.9) при малых значениях X и Ь вероятность хотя бы одной аварии определяется согласно следующему выражению:

На практике при оценке значение X обычно учитывается, что вероятность аварий зависит от достаточно большого числа природных, антропогенных, технологических и других факторов, меняющихся по участкам трассы, т.е. X можно представить в виде некоторой функции А, = Цх), где х — вектор факторов, влияющих на разрыв. В связи с этим в исследованиях рисков экономических ущербов, обусловленных разрывами газо- или нефтепроводов, не рекомендуется использовать усредняющие значения X по всей их сети. Эти значения предполагается оценивать для каждого ее участка отдельно. В частности, имеющиеся оценки интенсивности разрывов газопроводов свидетельствуют, что среднее^ значение X по территории Российской Федерации составляет X =0,34 (количество аварий на 1000 км в год). В то же время в Чувашии, Тамбовской, Нижегородской и Смоленской областях этот показатель не превышает 0,1, в Дагестане и Северной Осетии — находится на уровне приблизительно 1,5, в Ставропольском крае — на уровне 1,75.

Существуют специальные методы (подходы), которые позволяют выразить X как функцию от факторов, характеризующих условия функционирования газо- и нефтепроводов, т.е. как Х(х). Эти методы будут рассмотрены в разделе 3.2.

Для очень редких (чрезвычайных) событий, которые случаются не каждый год, при определении вероятностей их происшествия обычно применяются законы распределения Вейбулла, логарифмически-нормальный, Парето и некоторые другие. Примером таких событий являются землетрясения, извержения вулканов, крупные техногенные катастрофы с тяжелыми последствиями. Поскольку такие события достаточно редки, то даже имеющаяся статистическая информация о частоте их проявления и нанесенном ущербе (часто за длительный период времени — десятилетия) не позволяет получить достоверные оценки соответствующей вероятности. В этих случаях обычно выдвигается предположение о том, что вероятность события характеризует возможность его проявления, сопровождающуюся значительным ущербом (силой события), количественные характеристики которого определяются известными пределами Х и Х-1. Например, сила землетрясения выражается в баллах, ущерб от пожара измеряется в стоимостных характеристиках понесенных потерь, числом погибших людей и т.п.

Иными словами, вероятность редкого события определена следующим условием:

где Хд и Хд — известные граничные значения ущерба, наносимого событием у-го типа, или силы этого события.

Далее предполагается, что пределы Хд и Хд находятся на «хвосте» известного закона распределения (Вейбулла, логарифмически нормального или какого-либо другого, подходящего для такой ситуации), описывающего распределение вероятностей в зависимости от ущерба на всем множестве его возможных значений. В таком случае вероятность события определяется на основе следующего известного выражения:

где ср(х) — плотность предполагаемого закона распределения с известными параметрами.

Значения этих параметров приблизительно определяются на основе имеющейся ограниченной статистической информации о частоте, силе событий и понесенном ущербе, оцениваются экспертным путем или какими-либо другими возможными методами. Иными словами, функция ср(х) строится на множестве известных значений х, в предположении, что она окажется справедливой и за пределами этого множества, т.е. на «хвосте распределения».

В частности, функция плотности распределения Вейбулла зависит от трех параметров:

где х>а,Ь,с> 0; при этом а — определяет величину сдвига на оси ущербов; Ь — параметр масштаба; с — параметр формы.

При ?7=0 выражение (3.14) имеет более простую форму записи:

Если имеется достаточная по объему исходная информация, то оценки параметров Ь и с, полученные по методу максимального правдоподобия, находятся как решение следующей нелинейной системы уравнений:

На практике значения этих оценок находятся по специальным таблицам.

Функция распределения Вейбулла имеет такой вид:

Вероятность неблагоприятного события, приносящего ущерб, в пределах от Х до Х2 определяется так:

При а = 0 выражение (3.18) принимает следующий вид:

Функция плотности логарифмически-нормального закона распределения имеет такой вид:

где х — величина ущерба;

т — параметр масштаба (т > 0);

а — среднеквадратическое отклонение 1пх;

а — параметр сдвига.

Эти параметры могут быть приблизительно определены на основании имеющейся статистики ущербов согласно следующим выражениям:

В этом случае вероятность неблагоприятного события с ущербом (силой) в пределах от Х до Х2 определяется по формуле:

где Ф — функция Лапласа (табличное значение стандартной функции нормального закона распределения).

Распределения Вейбулла и логарифмически-нормальное использовались, в частности, для оценки вероятностей сильных пожаров на территории Российской Федерации. Параметры распределений были определены на основе статистической информации о последствиях взрывов и пожаров за 1991—1996 гг. Полученные результаты представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Оценки вероятностей сильных пожаров на территории РФ

Показатель ущербачисло погибших

Распределение

Вейбулла

Логарифмически

нормальное

100-200

2 10-2

6 10-з

Свыше 200

5 10-3

810-4

Во многих исследованиях катастрофических, аварийных событий в сложных системах часто используется степенной закон распределения вероятностей, ставящий значение вероятности события в зависимость от его силы, ущерба, который оно вызывает. Общий вид функции плотности степенного закона распределения может быть выражен следующей формулой:

где 0 < а < 1 - константа, значения которой специфичны для каждого типа событий.

Функция плотности, определенная выражением (3.23), соответствует функции распределения Парето, вид которой задается выражением:

Например, функции (3.23) и (3.24) применяются для описания распределения: относительной, т.е. на интервале [0,1], смертности населения в результате землетрясения с а «0,25—0,45 и ураганов с а «0,4—0,6; числа заболевших в закрытых популяциях с а «0,29; площади лесных пожаров с а «0,39, а также распределений количества землетрясений с различной энергией (с а«2/3 для землетрясений с магнитудой менее 7,5 и с а« 1 для более сильных).

Закономерности проявления событий, описываемых степенными распределениями типа Парето, характеризуются тем, что события с наиболее тяжелыми последствиями, приходящиеся на «хвост» его функции плотности происходят недостаточно редко, чтобы ими можно было пренебречь. При этом их природа определяется сильной взаимосвязью между событиями, которая проявляется в виде «цепной реакции» возмущений элементов природных и техногенных систем, характеризующейся лавинообразным нарастанием возмущения общей системы с вовлечением в него все больших ресурсов.

Распределение Парето выражает то обстоятельство, что в ряду ущербов от катастроф редко, но наблюдаются сверхэкстремальные уровни, не соизмеримые по величине со значением ущербов для подавляющей части подобных событий. Ущерб от сверхэкстремальных событий сопоставим по величине с ущербом от всех катастроф за наблюдаемый период времени. Например, в Тянь-Шаньском землетрясении 1976 г. в Китае погибло (по разным источникам) от 260 до 650 тыс. человек, что в десятки раз превосходит число погибших при ранее наблюдавшихся землетрясениях. Наводнение в Бангладеш в 1970 г. явилось причиной гибели более 500 тыс. человек.

Отметим основные свойства распределения Парето.

1. Начальные моменты достаточно высоких порядков у них расходятся:

где q — порядок момента;

<7* — рубежное значение порядка.

Это свойство связано с эффектом «тяжелого хвоста распределения», проявляющегося в том, что «тяжелые» события перевешивают обычные. В частности, для распределения Парето с а « 1 бесконечным является уже первый момент математического ожидания.

2. Сумма случайных величин = х + *2 +•••+*«, распределенных по закону Парето, с ростом п растет нелинейно пропорционально п/а. В частности, максимальный член выборки тп= = шах(л:1 +*2, •••>*«) распределен согласно следующему закону:

Уравнение для медианы случайной величины тп (шес1 тп) имеет следующий вид:

Из выражения (3.27) следует, что поскольку при положительных X/ Яп > тп, то с ростом п растет по крайней мере не

у

менее чем п.

Можно показать, что для распределений «с тяжелыми хвостами» математическое ожидание отношения 8пп при п -> оо определяется следующим выражением:

Из (3.28), в свою очередь, вытекает, что с точностью до множителя 1/1—а сумма ущербов от совокупных событий при увеличении их числа определяется одним максимальным ущербом ттах. Заметим, что при обычных распределениях отношение 8пп стремится к бесконечности.

«Тяжелые хвосты распределений» предопределяют необходимость использования специальных приемов при оценке их параметров. Общий подход к получению этих оценок состоит в переходе от абсолютных значений наблюдаемых ущербов х,- к их логарифмам = 1пх/. В этом случае моменты случайных величин у1 сходятся и параметры распределений поддаются однозначной оценке.

Например, согласно методу максимального правдоподобия оценка параметра а распределения Парето определяется согласно следующему выражению:

На практике для увеличения точности в выражении учитывают только события с тяжестью большей, чем Ао, которые вносят основной вклад в формирование значения а. В связи с этим вместо выражения (3.29) рекомендуется использовать следующее: где х/ > Х0.

В качестве среднего квадратического отклонения полученного значения а обычно используется следующий показатель:

Оценка суммы Яп может быть получена с использованием такого выражения:

где Яп определяется при больших п приблизительно как 1/1- а.

Доверительный интервал для величины при доверительной вероятности е приблизительно задается следующими границами:

Используя степенные распределения (распределение Парето) в риск-анализе, необходимо также учитывать ограниченность масштабов ущербов при тех или иных событиях. Часто эти ограничения определяются размерами территории, на которой происходит событие, стоимостью объекта и т.п. Вообще говоря, из-за редкости значительных по силе катастроф существующая статистика мало чем может помочь при оценке предельной величины ущерба. Этот предел проще определить экспертным путем либо на основе аналитических оценок. В частности, величину Хо (превышающие ее ущербы рассматриваются как невозможные) предлагается определять из соотношения:

Выполнение условия х< Хц обеспечивается «обрезанием хвоста распределения» Парето. В этом случае функция распределения определяется следующим выражением:

Математически «обрезание хвоста» может быть обеспечено введением в правую часть выражения (3.23) функции-сомножителя q(x/X()), которая приблизительно постоянна при х/Х$ < 1 и быстро стремится к нулю при х/Х) > 1 с ростом этого отношения.

Таким образом, функция плотности степенного «распределения с усеченным хвостом» определяется следующим отношением:

При наличии достаточного объема статистической информации о частоте и последствиях какого-либо неблагоприятного события закон распределения вероятностей его проявления может быть определен достаточно традиционным способом — с использованием критерия х2. Напомним, что распределение у} совпадает с распределением суммы квадратов к независимых нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Для проверки гипотезы о соответствии к эмпирических частот событий, распределенных по величине ущерба, теоретической функции плотности какого-либо закона распределения значение х2 определяется согласно следующей формуле:

где щ — количество событий с ущербом х, находящихся в пределах

п — общее количество наблюдаемых событий;

Р/ — вероятность, что событие нанесет ущерб в пределах

Pj рассчитывается на основе функции плотности предполагаемого закона распределения:

где ф(х) — теоретическая плотность распределения вероятностей событий, которой, согласно предположению, соответствуют наблюдаемые частоты щ/п.

Гипотеза о соответствии наблюдаемых частот щ/п предполагаемому закону распределения с плотностью ср(х) считается подтвержденной, если рассчитанное по формуле значение х2 не превысит табличного значения у^(Р*,у), т.е. если у} < %1(Р*,у), где Р* — уровень доверительной вероятности (обычно Р* = 0,95;

0,97; ...) и V = к - 1 — число степеней свободы распределения. В противном случае такое соответствие не подтверждается, и целесообразно попытаться подобрать другое, более подходящее для имеющейся статистической информации, теоретическое распределение.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >