Аналитические решения уравнений динамического пограничного слоя

Таким образом, при обтекании тела потоком жидкости вблизи стенки образуются динамический и тепловой пограничные слои (см. рис. 14.1—14.6), которые представляют собой границы соответствующих фронтов возмущения, отделяющие возмущенный поток от невозмущенного.

Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя (уравнения Прандтля) выводятся из уравнений движения (На- вье—Стокса) и уравнения сплошности, которые с учетом ряда допущений имеют вид:

Граничные условия для уравнений (14.19) и (14.20) будут

Распределение скоростей и температур в турбулентном пограничном слое

Рис. 14.6. Распределение скоростей и температур в турбулентном пограничном слое

где 5(х) — толщина динамического пограничного слоя.

Граничное условие (14.23) характеризует плавность сопряжения профилей скоростей на внешней границе пограничного слоя. Граничное условие (14.24) получаем из дифференциального уравнения (14.19) при у = 0, где vx = vy = 0. Следовательно, выполнение условия

(14.24) является выполнением уравнения (14.19) в точке у = 0. Соотношение

(14.24) по сути является дополнительным граничным условием в задаче (14.19)—(14.24).

Задача (14.19)—(14.24) является нелинейной. Точные аналитические решения ее не получены — получены решения лишь путем численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений

(14.19), (14.20).

Найдем приближенное аналитическое решение задачи (14.19)—

(14.24) . Для этого потребуем, чтобы искомое решение удовлетворяло не исходным уравнениям (14.19), (14.20), а осредненным в пределах толщины динамического слоя, т.е. определим интегралы от данных уравнений по переменной у в пределах от у = 0 до у = 5(х):

Интеграл в правой части соотношения (14.25) с учетом граничного условия (14.23) приводим к виду

Запишем закон Ньютона для касательного напряжения в жидкости, прилегающей к стенке:

Соотношение (14.28) можно записать в виде

Подставляя (14.29) в (14.27), находим

Выполняя интегрирование по частям во втором члене левой части уравнения (14.25), получаем

Учитывая граничное условие (14.22) и уравнение неразрывности

(14.20) , последнее соотношение приводим к виду

Подставляя (14.26) в (14.32), находим

Подставляя (14.29), (14.33) в (14.25), с учетом того, что (dVx/dy)y=5 = 0, получаем

Соотношение (14.34) приводим к известному интегральному уравнению для динамического пограничного слоя, впервые полученному Карманом в 1921 г.:

Учитывая соотношение (14.28), а также тот факт, что интегралы в левой части зависят лишь от одной переменной х, соотношение (14.35) можно представить в виде

Суть использования интегрального уравнения (14.36) в том, что при получении решения задачи (14.19)—(14.24) требуется выполнение не исходных дифференциальных уравнений в частных производных (14.19), (14.20), а некоторых осредненных по толщине динамического пограничного слоя, которые в конечном итоге сводятся к одному интегральному уравнению вида (14.36). Разумеется, подобное осреднение снижает точность решения исходных уравнений (14.19),

(14.20) . Однако, как будет показано далее, применение дополнительных граничных условий позволяет найти такое приближенное аналитическое решение, которое в зависимости от числа приближений удовлетворяет уравнениям (14.19), (14.20) практически с заданной степенью точности.

Решение интегрального уравнения (14.36) с граничными условиями (14.21)—(14.24) примем в виде алгебраического полинома

где ак(5) — неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных условий (14.21)—(14.24).

Подставляя (14.37), ограничиваясь четырьмя членами ряда, в граничные условия (14.21)—(14.24), относительно я*(5) (к = 0,1,2,3)по- лучаем систему четырех алгебраических линейных уравнений. Ее решение:

Подставляя (14.38) в (14.37), находим

Подставляя (14.39) в интегральное уравнение (14.36), относительно неизвестной функции 5(х) будем иметь следующее обыкновенное дифференциальное уравнение

Интегрируя уравнение (14.40), при начальном условии 6(0) = 0 находим

Соотношения (14.39), (14.41) представляют решение задачи (14.19)—(14.24) в первом приближении. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что соотношение (14.39) точно удовлетворяет граничным условиям (14.21)—(14.24) и интегральному уравнению (14.36). Уравнения (14.19), (14.20), как это следует из (14.25), (14.26), в данном случае удовлетворяются лишь в среднем.

Соотношение (14.41) представим следующим образом Распределение безразмерных скоростей в зависимости от безразмерной координаты

Рис. 14.7. Распределение безразмерных скоростей в зависимости от безразмерной координаты:

1, 2, 3, 4 — первое, второе, третье и четвертое приближения; 5 — точное решение

Из соотношения (14.42) следует, что условие 5(х) « х, лежащее в основе всей теории пограничного слоя, выполняется при достаточно больших числах Рейнольдса. Следовательно, теория пограничного слоя является теорией движения реальной жидкости при больших значениях числа Рейнольдса.

Результаты расчетов безразмерной скорости по формуле (14.39) в сравнении с точным решением уравнений (14.19), (14.20) (численное интегрирование) приведены на рис. 14.7, 14.8. Анализ полученных результатов позволяет заключить, что в диапазоне безразмерной переменной 0<р<4,0 (ц = у /8(х) = yJvTvx) максимальное расхождение составляет 3 %, в диапазоне 4,0 < rj < 6,0 — 15 %, а при г > 6 решение (14.39) практически непригодно для использования. Таким образом, решение в первом приближении наименее точно вблизи границы динамического пограничного слоя.

Ввиду того что решение задачи о распределении скорости в динамическом пограничном слое вида (14.39) будет использовано далее при решении задачи для теплового пограничного слоя, такое расхождение полученных результатов с точным решением может привести к еще большей неточности в анализе распределения температуры внутри теплового слоя. Вопрос точности решения динамической задачи актуален еще и потому, что при решении задачи теплового пограничного слоя исходное уравнение энергии также осредняют и приводят к

Распределение безразмерных скоростей в динамическом пограничном

Рис. 14.8. Распределение безразмерных скоростей в динамическом пограничном

слое:

/ — по формуле (14.39) (первое приближение); 2 — по формуле (14.61) (четвертое приближение)

интегральному (интегралу теплового баланса). К тому же следует учесть еще и тот факт, что при получении исходных дифференциальных уравнений для динамического пограничного слоя вида (14.19),

(14.20) были приняты допущения, позволившие максимально упростить математическую постановку задачи. В связи с этим проблема точности решения исходных уравнений (14.19), (14.20) является весьма актуальной. Важность получения как можно более точных решений состоит еще в том, что на их основе выводят широко используемые в теории конвективного теплообмена формулы для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений.

Соотношение (14.39) благодаря полиномиальной зависимости скорости от координаты у позволяет построить линии изотах (одинаковых скоростей) в пределах толщины динамического пограничного слоя в координатах у, х (рис^ 14.9). Задавая постоянные значения безразмерной скорости vx/v = vx, для различных значений координаты х находят такие у, которые удовлетворяют соотношению (14.39).

Анализ распределения изотах позволяет заключить, что все они (0 < vx< 1) возникают на_поверхности стенки в точке х = 0, у = 0. Изо- таха нулевой скорости vx = 0 совпадает с осью х. Изотаха единичной скорости vx = 1 совпадает с линией динамического пограничного

Рис. 14.9. Графики распределения изотах в динамическом пограничном слое (Pr = v/a =1, v = 5 м/с)

слоя. Отмечается их сгущение вблизи стенки и разрежение вблизи границы, отделяющей возмущенный поток от невозмущенного.

На основе рис. 14.9 по соотношению W= Ау/Ах определяют скорости перемещения изотах по координате у в зависимости от координаты х (рис. 14.10). Их анализ позволяет сделать вывод о том, что максимальную скорость перемещения имеет единичная изотаха, а скорость перемещения нулевой равна нулю. Все они возникают на поверхности стенки в точке х= 0, у — 0, имея при этом бесконечно

Графики изменения скоростей движения изотах по координате у в зависимости от координаты х, v = 5 м/с большие начальные скорости

Рис. 14.10. Графики изменения скоростей движения изотах по координате у в зависимости от координаты х, v = 5 м/с большие начальные скорости. Затем по мере продвижения по координате у в зависимости от координаты х скорости существенно уменьшаются с последующей стабилизацией изменения по закону, близкому к линейному. Отметим, что наибольший градиент скорости имеют изотахи малого потенциала на относительно небольшом расстоянии по координате х.

Для повышения точности решения задачи (14.19)—(14.24) необходимо увеличивать степень полинома (14.37). Для определения вновь возникающих при этом неизвестных коэффициентов ак(5) будем привлекать дополнительные граничные условия. Принцип их нахождения заключается в следующем. Для получения первого из них уравнение (14.19) применяют в точке у = 0. Именно таким путем было получено дополнительное граничное условие (14.24). Для получения второго дополнительного граничного условия применим уравнение (14.19) в точке у = 5(х)

Продифференцируем граничное условие (14.22) по переменной х. Так как из (14.22) находим значение vx(y) в точке у = 5(х), то у является функцией х, и, следовательно, vx(y) будет сложной функцией. Тогда по правилу определения производной от сложной функции будем иметь

Последнее соотношение с учетом граничного условия (14.23) примет вид

Уравнение (14.43) с учетом (14.23) и (14.44) будет

Соотношение (14.45) представляет второе дополнительное граничное условие, из которого следует, что подчинение решения вида (14.37) этому условию равносильно выполнению уравнения (14.19) во всех точках у = 6(х).

Для получения последующих дополнительных граничных условий необходимо дифференцировать (многократно) уравнение (14.19) по переменной у, а граничные условия (основные и дополнительные) — по переменной х. Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно получить какое угодно число дополнительных граничных условий, необходимых для нахождения как можно более точных аналитических решений уравнений (14.19), (14.20). Например, для получения третьего дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (14.19) по переменной у и запишем полученное соотношение для точки у = 5(х):

Соотношение (14.46) с учетом (14.22), (14.23), (14.45) примет вид

Продифференцируем граничное условие (14.23) по переменной х, учитывая, что vx сложная функция:

Последнее соотношение с учетом (14.45) примет вид

Сравнивая (14.47) и (14.48), получаем третье дополнительное граничное условие

По физическому смыслу оно означает выполнение на границе динамического пограничного слоя соотношения, полученного после определения первой производной по переменной у от уравнения

(14.19).

Для получения четвертого дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (14.19) по переменной у и запишем полученное соотношение для точки у = 0:

Учитывая уравнение неразрывности (14.20) и граничное условие

(14.21), соотношение (14.50) приводим к виду

Соотношение (14.51) представляет четвертое дополнительное граничное условие.

Для получения следующих двух дополнительных граничных условий необходимо продифференцировать уравнение (14.19) дважды по переменной у и записать полученные соотношения для точек у = 0 и у = 6(х). Сравнивая их с соотношениями, найденными посредством дифференцирования граничных условий (14.24) и (14.45) по переменной х, находим следующие два дополнительных граничных условия:

Аналогично можно получить сколько угодно дополнительных граничных условий.

Физический смысл дополнительных граничных условий заключается в выполнении исходного дифференциального уравнения

  • (14.19) и выражений, полученных после определения производных различной степени от него, в точках у = 0 и у = 5(х) (на линии динамического пограничного слоя — фронте гидравлического возмущения). Ввиду того что перемещение фронта гидравлического возмущения охватывает весь диапазон изменения переменной у, то, следовательно, для всех значений переменной х, которым соответствуют значения переменной у, обозначающие линию динамического пограничного слоя, уравнение (14.19) выполняется точно. Таким образом, благодаря использованию дополнительных граничных условий можно существенно повысить точность выполнения исходного дифференциального уравнения, несмотря на то, что функция 5(х) определяется из интегрального уравнения (14.36), которое в любом приближении выполняется точно. При этом точность выполнения уравнения
  • (14.19) будет зависеть от числа дополнительных граничных условий — числа приближений (числа членов ряда (14.37)).

Для получения решения задачи (14.19)—(14.24) во втором приближении подставим соотношение (14.37), ограничиваясь шестью членами ряда, в основные (14.21)—(14.23) и дополнительные (14.24),

(14.45), (14.49) граничные условия. Относительно неизвестных коэффициентов ак (5) = 0,5) будем иметь систему шести алгебраических линейных уравнений. Подставляя найденные из ее решения коэффициенты ак (5) в соотношение (14.37), находим

Подставляя (14.53) в интегральное уравнение (14.36), относительно неизвестной функции 8(х) имеем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Интегрируя его, при начальном условии 5(0) = 0 находим

Соотношения (14.53), (14.55) представляют решение задачи

(14.19)—(14.24) во втором приближении. Анализ результатов расчетов по формуле (14.53) в сравнении с первым приближением и точным решением (см. рис. 14.7) позволяет заключить, что максимальное расхождение составляет около 2 %. Важным является тот факт, что произошло значительное повышение точности на участках координаты у, расположенных вблизи границы пограничного слоя (5 < г < 6).

Для получения решения в третьем приближении были использованы следующие дополнительные граничные условия:

Граничные условия (14.21)—(14.24), (14.45), (14.49), (14.52), (14.56) позволяют определить уже девять неизвестных коэффициентов ак(8) (Л: = 0,8) ряда (14.37). Подставляя (14.37) в перечисленные

граничные условия, относительно ак(Ь) получим систему девяти алгебраических линейных уравнений. С учетом найденных значений коэффициентов ак (8) соотношение (14.37) принимает вид

Подставляя (14.57) в интегральное уравнение (14.36), относительно неизвестной функции 8(х) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение вида

Разделяя переменные в уравнении (14.58) и интегрируя, при начальном условии 5(0) = 0 получаем

Соотношения (14.57), (14.59) представляют решение задачи

(14.19)—(14.24) в третьем приближении. Анализ результатов расчетов по формуле (14.57) в сравнении с точным решением (см. рис. 14.7) позволяет заключить, что безразмерные скорости, полученные по формуле (14.57), на большей части изменения безразмерной координаты л=yVw v* (0 < г| < 7,0) практически совпадают с точными их значениями, и лишь на участке 4,0 < г < 5,0 максимальное расхождение составляет около 1 %.

Найдем решение задачи (14.19)—(14.24) в четвертом приближении. Дополнительные граничные условия в данном случае имеют вид

Отметим, что в каждом приближении используют три дополнительных граничных условия — одно задается при у = 0, а два других — при у = 8(х). Использование меньшего числа дополнительных граничных условий не приводит к заметному повышению точности решения в данном приближении.

Подставляя (14.37) во все основные и дополнительные граничные условия, относительно неизвестных коэффициентов ак(Ь) (А: = 0,11)

будем иметь систему двенадцати алгебраических линейных уравнений. После определения ак соотношение (14.37) примет вид

Подставляя (14.61) в (14.36), относительно 5(х) получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

I

Отметим, что обыкновенные дифференциальные уравнения относительно 5(х) в любом приближении отличаются друг от друга лишь числовым коэффициентом (см. уравнения (14.40), (14.54), (14.58), (14.62)), что значительно упрощает процесс получения их решений.

Интегрируя уравнение (14.62), при начальном условии 5(0) = 0 находим

Соотношения (14.61), (14.63) представляют решение задачи

(14.19)—(14.24) в четвертом приближении. Результаты расчетов безразмерных скоростей по формуле (14.61) (табл. 14.1) показывают, что расхождение с точным решением не превышает 0,01 %. Сравнение результатов расчетов безразмерных скоростей в первом и четвертом приближениях дано на рис. 14.8.

Таблица 14.1

ц

— по формуле (14.61)

V

VY

— точное решение

V

1

0,3312

0,3298

2

0,6312

0,6298

3

0,8444

0,8461

4

0,9539

0,9555

5

0,9918

0,9916

6

0,9994

09989

7

0,99999

0,99992

По известной толщине пограничного слоя можно найти формулу для касательного напряжения трения на поверхности пластины и таким образом оценить сопротивление, оказываемое твердой поверхностью движущейся жидкости при ламинарном режиме. Подставляя (14.61) в формулу закона Ньютона для касательного напряжения

(14.6), находим

После подстановки в последнее соотношение формулы для толщины динамического пограничного слоя (14.63) получаем

Отличие коэффициента 0,331 от точного его значения 0,332 составляет 0,1 %. Отметим, что в первом приближении он равен 0,323 (отличие от точного около 3 %).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >