Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, являющаяся центром параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела. Для абсолютно твердого тела положение центра тяжести относительно тела является неизменным.

Равнодействующую сил тяжести р12,...,рп, действующих на все частицы данного тела, обозначим Р. Модуль этой силы называется весом тела и определяется равенством

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами (5.3):

где хк, ук, zk координаты точек приложения сил тяжести рк, действующих на к-е частицы тела.

Если тело является однородным, то вес рк любой его части пропорционален объему vk этой части тела: рк = yvk, где у — вес единицы объема. Подставив эти значения в формулы (5.5), после сокращения на у получим координаты точки С, называемой центром тяжести объема V:

Аналогичные рассуждения можно провести для тела, представляющего собой однородную плоскую пластину, площадь которой равна S, и определить координаты ее центра тяжести:

где S — площадь всей пластины; sk площади частей, из которых состоит пластина; хк, ук координаты центров тяжести площади к-й части пластины.

Точно так же получаются координаты центра тяжести линии:

где L — длина всей линии; 1к длина ее к-х частей.

Анализируя формулы (5.6) — (5.8), приходим к выводу, что центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы. Исходя из структуры расчетных формул, можно обосновать: если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести расположен соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Действительно, если однородное тело имеет плоскость симметрии, то этой плоскостью оно разбивается на две такие части, веса которых /?) и р2 равны друг другу, а центры тяжести находятся на одинаковых расстояниях от плоскости симметрии. Тогда, направив, например, ось х перпендикулярно плоскости симметрии и выбрав начало отсчета координаты х в точке пересечения оси х и плоскости симметрии, будем иметь для двух симметричных частей тела соотношения р{ — р2, х, = — х2. Подставив их в первую из формул (5.5), получим хс= 0, т. е. центр тяжести всего тела расположен в плоскости симметрии тела.

На основе изложенного можно легко установить, что:

  • 1) центр тяжести отрезка прямой лежит в его середине;
  • 2) центры тяжести окружности, площади крута, однородного круглого кольца, поверхности и объема шара находятся в их геометрических центрах;
  • 3) центры тяжести периметра и площади параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата лежат в точках пересечения диагоналей соответствующих фигур.

Методика определения центра тяжести тел состоит в следующем. Тело разбивается на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно или может быть предварительно определено. Далее центр тяжести всего тела вычисляют по общим формулам (5.5) — (5.8), подставляя в них соответствующие параметры тех частей, на которые было разбито тело.

Таким образом, исследуемое тело рассматривается в качестве суммы простейших тел. Иногда его можно представить как разность тел (большего с вычетом меньшего). Тогда при расчетах вес (объем, площадь) большего тела считают положительным, а вес (объем, площадь) меньшего тела, как вычитаемого, считают отрицательным; так поступают для тел, имеющих вырезы, отверстия.

Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то его разбивают на бесконечное число элементарных частей, и тогда стоящие в формулах (5.5) — (5.8) суммы обращаются в интегралы.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >