Центры тяжести некоторых однородных тел

Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD на ряд узких полосок, параллельных стороне AD (рис. 5.3). Центр тяжести каждой такой элементарной полоски находится в ее середине, а центры тяжести всех этих полосок будут лежать на медиане BE. Разбив площадь треугольника прямой, параллельной его другой стороне, например стороне АВ, убедимся, что центр тяжести треугольника должен лежать на медиане DK. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке С пересечения его медиан. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, т. е. СЕ= (1/3)ВЕ, СВ = (2/3)BE.

Если известны координаты вершин данного треугольника А(х_Л, у A, Z_A), В(х_в, у_в, Z_B), D(x_d, y_D, Z_D), TO по формулам аналитической геометрии получим координаты центра тяжести С:

Центр тяжести дуги окружности. Рас-

Рис. 5.3

U

смотрим дугу АВ радиусом R с центральным углом АОВ= 2а. Ввиду симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси

KJ

Ох (рис. 5.4). Выделим на дуге АВ элемент ab длиной dl = Rdiр, положение которого определяется углом ф. Координата х элемента ab будет х = R cos ф. Подставляя значения хи dl в первую из формул (5.8), заменив в ней знак суммирования на интеграл по всей

U

длине дуги АВ, получим

U

где L — длина дуги АВ, равная R • 2а. Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на оси ее симметрии на расстоянии от центра О, равном

где угол а измеряется в радианах.

Центр тяжести кругового сектора. Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиусом R с центральным углом 2а (рис. 5.5). Разобьем площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на элементарные секторы, каждый из которых можно рассматривать как

U

треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE окружности радиусом 2R/2. Следовательно, центр тяжести сектора ОАВ совпадает с центром тяжести дуги DE, положение которого определится по формуле (5.10), подставив в нее значение радиуса 2/?/3:

В частности, для полукруга будем иметь a = я/2 и из (5.11) получим:

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Приведем без доказательства еще некоторые результаты.

Центр тяжести призмы. Чтобы найти центр тяжести призмы, мысленно разобьем ее плоскостями, параллельными основанию, на тонкие пластины, которые можно принять за плоские многоугольники. Учитывая, что все они будут одинаковыми, то их центры тяжести лежат на отрезке прямой, соединяющей центры тяжести С| нижнего и С₂ верхнего оснований этой призмы, а центр тяжести С всей призмы находится в середине указанного отрезка (рис. 5.6).

Центр тяжести пирамиды (конуса). Этот центр С лежит на отрезке прямой, соединяющей вершину пирамиды с центром тяжести ее основания, на расстоянии 1/4 этого отрезка от центра тяжести основания. Так, для пирамиды и конуса, изображенных на рис. 5.7,

Этот результат справедлив для любой многоугольной пирамиды и для конуса.

Центр тяжести полушара. Этот центр С лежит на оси Ох (ось симметрии, рис. 5.8), а его координата

где R — радиус полушара.

Задача 5.1. Из тонкой однородной проволоки сделан контур (рис. 5.9, а), представляющий собой две дуги полуокружностей радиусов R и г = R/2 и прямую AD. Определить центр тяжести контура.

Решение. Проводим оси Dxy и разбиваем контур на три элемента, для каждого из которых находим его длину и координаты центра тяжести.

U

Дуга АВ радиусом /?(/, = nR, х_{ = 0, у_{ — 2R/n, последнее получим из

U

формулы (5.10), положив а — п/2), дуга DB радиусом r—R/2(l₂ — nR/2,

Рис. 5.6

Рис. 5.7

x₂ — R/2, y₂ — R/n), прямая AD(l₃ — R, x₂ — — R/2, y₃ = 0). Длина всего контура L — /, + /₂ + /₃ = (1,5л + 1 )R— 5,71 R.

Подставив соответствующие значения в формулы (5.8), получим

Найденное положение центра тяжести С контура показано на рис. 5.9, а.

Задача 5.2. Определить центр тяжести пластины, ограниченной контуром, рассмотренным в предыдущей задаче.

Проводим оси Dxy (рис. 5.9, б) и разбиваем пластину на два элемента: полукруг радиусом R (ч. 1), из которого вырезан полукруг радиусом г = R/2 (ч. 2).

При выполнении расчетов площадь части 2, как вычитаемая, должна браться со знаком «минус». Тогда для каждой части имеем:

Подставив числовые значения величин в формулы (5.7), получим

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Центр тяжести С, координаты которого определены, показываем на чертеже (рис. 5.9, б); он располагается на прямой С_ХС₂ левее точки С_х.

Сопоставив результаты задач 5.1 и 5.2, видим, что центр тяжести пластины (рис. 5.9, б) не совпадает с центром тяжести контура (рис. 5.9, а), окаймляющего ее.

Задача 5.3. Определить положение центра тяжести однородной пластины, изображенной на рис. 5.10 (размеры даны в сантиметрах).

Решение. Проводим оси Вху. Площадь пластины рассматриваем как фигуру, составленную из трех частей: треугольника ЛВК (ч. 1) и прямоугольника BKED (ч. 2), из которого вырезан полукруг (ч. 3) радиусом R = 3 см.

Вычисляем площадь и координаты центров тяжести каждой части пластины:

S₃ = —uF?/2 — —14,13 см² (площадь полукруга берем со знаком минус, так как она вычитается из площади прямоугольника), х₃ = 8 — 4/?/Зтг = 6,73 см, у₃ = 3 см.

2

Площадь всей пластины S = о) + S₂ + о₃ = 42,87 см .

Подставив соответствующие значения в формулы (5.7), получим:

Найденное положение центра тяжести С показываем на чертеже.

Задача 5.4. Определить положение центра тяжести однородного твердого тела (рис. 5.11), состоящего из трех частей: полушара I радиусом /?, прямого круглого цилиндра II радиусом г — /?/2 и высотой Н — 4/?, круглого конуса III с основанием радиусом /? и высотой h = 2/?.

Решение. Проводим оси координат Oxyz так, что ось у совмещена с осью симметрии тела. Тогда х_с— 0, Zq~ 0.

Рис. 5.10

Рис. 5.11

Обозначим центры тяжести полушара через С_х, цилиндра — через С₂, конуса — через С₃. Для вычисления у_с воспользуемся формулой (5.6), которая в данном случае имеет вид:

где у_х, у₂, у₃ — координаты центров тяжести полушара, цилиндра и конуса; V], v₂, v₃ — соответственно объемы этих тел; общий объем V— v, + v₂ + v₃.

Находим: для полушара I v_x — 2kR³/3, y_x= — 3R/8 для цилиндра II v₂ = nr²H= kR³, у₂ = Н/2 = 2R; для конуса III v₃ = nF^h/3 = 2nR³/3, у₃ =

¹ " ₃

= // + -h -4,5R, V-7nR /3. Подставив эти значения в формулу, получим У _с — (57/28) /?.

Ответ: положение центра тяжести С данного твердого тела (см. рис. 5.11) определяется координатами х_с— 0, у_с — (57/28)/?, ?_с= 0.

Упражнения для самостоятельной работы

• 1. В каком случае центр тяжести тела обязательно совпадает с центром тяжести его объема и когда эти центры могут не совпадать?
• 2. Изменится ли положение центра тяжести тела, рассмотренного в задаче 5.4 (см. рис. 5.11), если в нем просверлить цилиндрическое отверстие, ось которого пройдет через точку С в направлении координатной оси у; в направлении, параллельном оси х?
• 3. Определите положение центра тяжести четверти круга и четверти окружности.