Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел

При решении большинства технических задач систему отсчета, связанную с Землей, считают неподвижной. Обсудим правомерность такого подхода.

Земля совершает суточное вращение (один оборот за 24 ч) с угловой скоростью со = 2л(24 • 60 • 60) * 7,27 • 10-5 с-1.

Рассмотрим материальную точку М, подвешенную на нити МК, вблизи поверхности Земли и находящуюся относительно ее в покое

(рис. 15.3); точка неизменно связана с Землей. Выберем начало подвижной системы координат в центре Земли О и направим ось Oz на Северный полюс, а ось Оу — в точку пересечения меридиана с экватором. Угол vp называется геоцентрической широтой. На материальную точку действуют: сила притяжения (тяготения) FT, сила натяжения нити N и переносная сила инерции Фе, обусловленная вращением Земли. Тогда условием равновесия (относительного покоя) точки М будет векторное равенство (15.6); в данном случае

Направление вектора N дает направление вертикали в данном пункте земной поверхности, а плоскость, перпендикулярная силе N, является горизонтальной плоскостью.

Силу Р, равную по модулю и направленную противоположно натяжению N, называют силой тяжести; модуль силы Р называют весом тела. Таким образом, сила тяжести равна геометрической сумме силы земного притяжения FT и силы инерции, обусловленной суточным вращением Земли, т. е.

Величина Фе = m&2R cos_i|/ (R — радиус Земли) ввиду малости со2 очень мала, поэтому сила Фе по сравнению с силой FT очень мала. Наибольшее значение сила Фе имеет на экваторе и составляет там около 0,034 % от силы тяготения.

Рис. 15.3

При решении задач оперируют силой тяжести Р (при вычислении которой учтено вращение Земли). Следовательно, при составлении уравнений равновесия тел по отношению к Земле ее вращение учитывается наличием в уравнениях силы тяжести Р.

Численно сила тяжести Р = mg, где т — масса тела (для данного тела величина неизменная); g —ускорение свободного падения, величина переменная, зависящая от широты (на экваторе g = 9,7805 м/с2; на широте Москвы g = 9,816 м/с2, на полюсе g = 9,832 м/с2). Таким образом, вес тела (модуль силы тяжести), так же, как и величина g, есть величина переменная, зависящая от расположения тела на Земле (как следует из рис. 15.3, расстояние точки от оси собственного вращения Земли определяется и широтой, и высотой над уровнем моря).

Рассмотрим, как сказывается влияние вращения Земли при движении тел относительно Земли. Из всех действующих на точку сил выделим силу тяготения и представим их сумму в виде Z Fk = Z Fk0+FT. Тогда, согласно уравнению относительного движения (15.4), в данном случае получим

Но Рте=Р. Теперь, уже окончательно, обозначив ZFk = = Z Fk0 +Р, это уравнение примет вид

Следовательно, когда при составлении уравнений движения оси, связанные с Землей, считают неподвижными (в этом случае mar =ZFk), то пренебрегают только кориолисовой силой инерции, численно равной

где у — угол между относительной скоростью V и вектором со, направленным вдоль оси собственного вращения Земли. Расчеты показывают, что величина Фк очень мала по сравнению с силой тяжести. Например, при V= 700 м/с (скорость артиллерийского снаряда) и у = 90° значение Фк составляет около 1 % от силы Р. Поэтому в большинстве инженерных расчетов, где скорости движущихся тел небольшие, систему отсчета, связанную с Землей, можно считать инерциальной (неподвижной).

Учет вращения Земли приобретает практическое значение или при очень больших скоростях (например, при скоростях полета баллистических ракет), или для движений, длящихся очень долго (течения рек, воздушные и морские_течения), когда незначительные отклонения, вызванные силой Фк, «накапливаются» длительное время.

Движение точки по земной поверхности. При движении точки по меридиану в Северном полушарии суевера на юг кориолисово ускорение ак направлено на восток, а Фк — на запад. При движении по меридиану с юга на север Фк будет направлена на восток. В обоих случаях точка вследствие вращения Земли будет отклоняться вправо от направления движения.

Рис. 15.4

Если точка движется по параллели на восток, то ускорение ак будет направлено вдоль прямой МА, перпендикулярной оси вращения (рис. 15.4), а сила Фк — в

противоположную сторону. Вертикальная составляющая этой силы, направленная вдоль ОМ, вызовет незначительное уменьшение веса тела, а горизонтальная составляющая, направленная на юг, вызовет отклонение точки тоже вправо от направления ее движения. Аналогичный результат получится при движении по параллели на запад.

Отсюда заключаем, что в Северном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности, будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В Южном полушарии отклонение будет происходить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, что реки, текущие в Северном полушарии, подмывают правый берег. В этом же причина отклонения ветров постоянного направления (пассаты) и морских течений, а также циркуляционного движения воздушных масс в циклоне и антициклоне. При движении по железной дороге давление на правый рельс больше, чем на левый, и т. п.

Движение точки по вертикали. При движении точки в направлении, перпендикулярном земной поверхности, она будет отклоняться от вертикали. В случае свободного падения точки с некоторой высоты на поверхность Земли сила Фк будет направлена на восток, что и вызывает отклонение точки от вертикали к востоку. При движении точки от Земли вверх — будет отклонение на запад. Значения этих отклонений очень малы и заметны только при достаточно большой высоте падения или подъема. Например, на широте Москвы при падении с высоты 100 м отклонение от вертикали на восток составит 1,2 см.

Упражнения для самостоятельной работы

  • 1. Какую систему отсчета называют инерциальной?
  • 2. В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями абсолютного и относительного движений материальной точки?
  • 3. Чему равны переносная и кориолисова силы инерции?
  • 4. В чем состоит принцип относительности классической механики?
  • 5. Возможен ли относительный покой, если равнодействующая приложенных к материальной точке сил равна нулю? не равна нулю?
  • 6. В каких точках Земли сила тяжести имеет наибольшее и наименьшее значения? Чем вызвано это различие?
  • 7. В задаче 15.1 определите периоды малых колебаний маятника, если точка его привеса движется вниз с ускорением: w < q, w = g.
  • 8. В задаче 15.2 определите значение со, при котором шарик будет находиться в покое по отношению к вращающейся трубке.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >