Отношения между множествами.

Два множества Ли В могут вступать друг с другом в различные отношения:

А включено в В, если каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В:

А включает В, если В включено в А:

А равно В, если А и В включены друг в друга:

А строго включено в В, если А включено в В, но не равно ему:

А строго включает В, если В строго включено в А:

А и В не пересекаются, если у них нет общих элементов:

А и В находятся в общем положении, если существуют элемент, принадлежащий исключительно множеству А, элемент, принадлежащий исключительно множеству В, а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

Операции над множествами.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретикомножественными операциями, или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств. Множество А содержится во множестве В (множество В включает множество А), если каждый элемент А есть элемент В

В этом случае А называется подмножеством В, В — надмножеством А. Если А<^В и^^й, то А называется собственным подмножеством В.

По определению VM : 0 cz М .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда, для того чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись AczB.

Бинарные операции. Ниже перечислены основные операции над множествами:

• пересечение:

Если множества Л и Я не пересекаются: А п В = 0, то их объединение обозначают также А + В = А'иВ;

• разность (дополнение):

• симметрическая разность:

• Декартово, или прямое, произведение:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера-Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции:

  • • абсолютное дополнение: А : = |х|х ? А};
  • • относительное дополнение: А В.

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество U, которое содержит ^4):

• мощность множества: | А |.

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное);

• множество всех подмножеств (булеан):

Приоритет выполнения операций.

Сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения, объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом — операция объединения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >