Проблема уровня строгости изложения материала
2.2.3. Рассмотрим теперь в нашем контексте проблему уровня строгости изложения материала. С математической точки зрения, для решения этой проблемы желательна максимальная логическая строгость изложения материала. С другой стороны, этот уровень (или уровни) зависят от соответствующих уровней математического мышления учащихся. М.В. Потоцкий утверждает: «Строгость должна разъяснять смысл и помогать усвоению, а не затемнять его» [142].
Заметим, что это высказывание опирается на соответствующую трактовку строгости, которую еще нужно выработать. При расшифровке уровней строгости следует исходить из того, что при строгом построении математических теорий эти уровни могут быть различны. Однако они должны удовлетворять математиков-профессионалов (например, различные трактовки числа и величин, различные аксиоматики геометрии и т. д.).
Хорошо известно, что для приложений математики характерны свои уровни строгости изложения материала. Нас будут устраивать такие уровни строгости, которые ведут различными путями к правильному пониманию сущности вопроса, явления, теории и т. п.
А. Эйнштейн в своей книге [194] говорит: «В возрасте 12-16 лет я ознакомился с элементами математики, включая основы дифференциального и интегрального исчисления. При этом, на свое счастье, мне попались книги, в которых обращалось не слишком много внимания на логическую строгость, зато хорошо была выделена везде главная мысль». Таким образом, возникает противоречие: «с одной стороны, все изложено не строго, с пропуском или нарушением логической цепи умозаключений, но усвоено правильно». Важно, чтобы при нестрогом изложении материала оговаривались имеющиеся пропуски и допущения.
Мы много обращаем внимания на связь изучаемого материала с действительностью, с практикой, однако в самой математике тоже есть свои традиции и противоречия. Мы хотим опираться на опыт, на реальные вещи и явления, а изучаем в раннем возрасте планиметрию, хотя вокруг ученика трехмерное пространство. Все зависимости в природе и в практической деятельности человека — это, как правило, функции нескольких переменных, а мы в течение всего школьного курса математики изучаем функции одной переменной и т. д.
Кроме того, когда мы говорим о строгости, о формально-логическом изложении материала (в школьном базовом образовании последнее практически невозможно), следует прежде всего понимать, какова роль самого ученика в этом процессе, умеет ли учитель организовать творческий поиск и т. д. Ведь если изложение строится дедуктивно, а ученики его воспринимают под диктовку, то ни о каком понимании не может быть и речи. Ученик только тогда будет понимать происходящее, когда будет сам активно участвовать в этом процессе. Самой главной задачей учителя является воспитание у учащегося потребности в строгости, в обоснованности выводов и умозаключений. Этот процесс приводит к важному моменту целостного развития личности, самостоятельности мышления. Необходимо научить учащихся приобретать дальнейшие знания самостоятельно. Но для этого требуются умения, привычка и любовь к самостоятельному мышлению. Данные психологии прямо говорят о том, что для этого надо в процессе обучения математике не «просто излагать», а постоянно ставить перед учащимися все новые и новые вопросы. В школьном преподавании это обычно делается, однако и систему таких вопросов и их содержание надо тщательно продумывать. Следует отметить, что задать вопрос, который будил бы мысль, не так просто.
Память
2.2.4. С понятием математического мышления часто соседствует понятие «память». Иногда люди, далекие от математической деятельности, смешивают понятия памяти с оценкой способностей некоторых учащихся, чья память иногда заменяет некоторые параметры математических способностей.
По поводу категории «память» психология накопила много полезной информации: для успешного запоминания учебного материала необходимо не столько многократное чтение или повторение одного и того же материала, сколько желание его запомнить, осознать важность его запоминания. Осмысленное запоминание прочнее механического; лучше всего и прочнее всего запоминается тот материал, над которым учащийся самостоятельно активно творчески думал и с которым он самостоятельно работал, даже если он его и не собирался запоминать.
