СВОБОДНОЕ И НЕСВОБОДНОЕ ТЕЛО. ТИПЫ СВЯЗЕЙ И ИХ РЕАКЦИИ. ТРЕНИЕ. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СХОДЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СИЛ (ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ)

Напомним некоторые определения и начнем с определения силы: сила — это количественная мера механического взаимодействия материальных тел. Единицей измерения силы является величина с размерностью MLT~2, где М — единица измерения массы; L — единица измерения длины; Т — единица измерения времени. В системе СИ — кг • м • с-2, и эта единица называется ньютоном. Сила — векторная величина, и ее действие на тело определяется:

  • 1) численной величиной или модулем силы;
  • 2) направлением силы;
  • 3) точкой приложения силы.

Прямая ЛВ (рис. 2.1), вдоль которой действует сила F, называется линией действия силы.

К определению понятия силы

Рис. 2.1. К определению понятия силы

Если на тело действует одновременно несколько сил, то их совокупность будет называться системой сил. Векторная сумма всех сил системы называется главным вектором системы сил. Аналогично векторная сумма всех моментов системы моментов и сил, действующих на тело, называется главным моментом системы моментов.

Приведем еще некоторые определения.

1. Тело, не взаимодействующее с другими телами и которому из данного положения может быть сообщено любое перемещение в пространстве, называется свободным.

  • 2. Если одну систему сил, действующих на свободное твердое тело, можно заменить другой системой сил, не изменяя при этом состояние покоя или движения, в котором находится тело, то такие две системы сил называются эквивалентными.
  • 3. Система сил, под действием которой свободное тело может находиться в покое, называется уравновешенной/эквивалентной нулю.
  • 4. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Сила, равная по модулю равнодействующей, антипараллельная ей и действующая вдоль той же прямой, называется уравновешивающей силой.
  • 5. Силы, действующие на тело со стороны других тел, называются внешними. Силы, действующие между частями одного и того же тела, называются внутренними.
  • 6. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке (рис. 2.2, а), называется сосредоточенной (еще одна теоретическая модель, т.е. основная абстракция ТМ). Силы, действующие на все точки данного объема/поверхности/линии, называются распределенными силами по данному объему/поверхности/линии (рис. 2.2, б).

, а. Сосредоточенная сила

Рис. 2.2, а. Сосредоточенная сила

, б. Распределенные по линии и поверхности силы

Рис. 2.2, б. Распределенные по линии и поверхности силы

Примеры распределенных сил, действующих на ATT, и их замена эквивалентными сосредоточенными силами показаны на рис. 2.3—2.5.

7. Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие тела, скрепленные или соприкасающиеся с ним, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называется связью, наложенной на тело.

Распределенная равномерно по линии АВ сила с линейной плотностью q, Н • м' заменяется сосредоточенной силой Q

Рис. 2.3. Распределенная равномерно по линии АВ сила с линейной плотностью q, Н • м'1 заменяется сосредоточенной силой Q

Распределенная сила по линии АВ, линейно возрастающая от нуля до q, Н

Рис. 2.4. Распределенная сила по линии АВ, линейно возрастающая от нуля до qmax, Н

Замена распределенной по поверхности ABCD однородной нагрузки (с поверхностной плотностью q, Н • м") сосредоточенной силой Q

Рис. 2.5. Замена распределенной по поверхности ABCD однородной нагрузки (с поверхностной плотностью q, Н • м"2) сосредоточенной силой Q

Примеры несвободных тел и связей: книга на столе (тело) — поверхность стола (связь, наложенная на тело), дверь (тело) — петли (связь).

Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с какой-то силой, которая называется силой давления тела на связь. Следовательно, по аксиоме статики 4 связь будет действовать на тело с силой противодействия R.

8. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещениям, называется силой реакции/противодействия связи, или просто реакцией связи. Силы F, не являющиеся реакциями связей, называются активными силами.

Особенности активной силы F: ее модуль и направление непосредственно не зависят от других сил, действующих на тело. Реакция связи R, наоборот, зависит от этих сил и наперед неизвестна. Для определения:

  • 1) величины R надо решить соответствующую задачу статики;
  • 2) направления R надо использовать правило — реакция связи всегда направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Когда связь одновременно препятствует перемещению тела по нескольким направлениям, ее направление также неизвестно и должно определяться по ходу решения задачи. Правильное определение направлений реакций связи играет важную роль. Основные типы связей: гладкая поверхность/опора1, нить[1] [2] (трос/канат/цепь), шарнир[3], шарнирно-подвижная опора и заделка. В табл. 2.1— 2.4 приведены основные разновидности связей и их реакции.

В табл. 2.1 даны названия и обозначения связей, для которых известно направление в пространстве реакции этих связей, и, таким образом, для определения связи остается решить соответствующую задачу статики (путем составления одного уравнения равновесия или какой-либо другой закономерности).

В табл. 2.2 приведены названия и схематические обозначения связей, для которых известно лишь направление прямой, вдоль которой действует реакция этих связей. Направление самой реакции выбирается произвольно. Если при этом после решения соответствующей задачи статики получено положительное значение для модуля этой реакции, то направление реакции связи (заданное произвольно) соответствует выбранному. Если же значение модуля отрицательно, то направление реакции связи противоположно тому, которое было выбрано произвольно.

В табл. 2.3 приведены названия и схематические обозначения связей, для которых известна лишь плоскость, в которой действует реакция этих связей. Направление самой реакции в этой плоскости выбирается произвольно, чаще всего путем задания двух составляющих этой реакции, например ХАиУА, направляемых обычно вдоль положительных направлений соответствующих координатных осей. Если при этом после решения соответствующей задачи статики получено положительное значение для модуля этой составляющей, то направление реакции (заданное произвольно) соответствует выбранному. Если же значение модуля отрицательно, то направление этой составляющей реакции связи противоположно тому, которое было выбрано.

В табл. 2.4 приведены названия и схематические обозначения связей, для которых неизвестно направление связи. Поэтому направление самой реакции выбирается произвольно, чаще всего путем задания необходимого количества составляющих этой реакции, например ХА, УА, ZA, Мх Му и М:, направляемых обычно вдоль положительных направлений соответствующих координатных осей.

Таблица 2.1

Связи, для которых известно направление в пространстве их реакций

Известные заранее свойства реакции связи

Название связи и ее обозначение на схеме

Реакция связи

Из геометрии чертежа известна прямая, вдоль которой действует реакция, и направ- ление реакции вдоль этой прямой

1. Гладкая опора/по- верхность/уступ

Приложена в точке касания тела к опоре, направлена к телу по нормали к касательной, проведенной к поверхностям соприкасающихся тел в точке касания

2. Нить/ка- нат/трос/цепь

Реакция нити приложена в точке крепления с телом и направлена всегда вдоль нити от тела к точке подвеса

3. Шарнирно-подвижная опора

Сочетание цилиндрического шарнира и гладкой поверхности, вдоль которой опора может или скользить, или перемещаться на катках. Реакция направлена перпендикулярно неподвижной опорной плоскости

Таблица 2.2

Связи, для которых известно направление линии действия их реакций

Известные заранее свойства реакции связи

Название связи и ее обозначение на схеме

Реакция связи

Из геометрии чертежа известна только прямая, вдоль которой действует реакция

4. Невесомый стержень с шарнирами на концах

Реакция направлена вдоль стержня, но в отличие от нити стержень воспринимает и растягивающие, и сжимающие усилия. Принято считать растянутым

5. Скользящая заделка

Реакция скользящей заделки состоит из силы и пары с моментом

Таблица 2.3

Связи, для которых известна плоскость действия их реакций

Известные заранее свойства реакции связи

Название связи и ее обозначение на схеме

Реакция связи

Из геометрии чертежа известна только плоскость, в которой действует реакция

  • 6. Цилиндрический шарнир/подшипник или шарнирно-неподвижная опора:
    • а) ось вращения шарнира перпендикулярна плоскости рисунка

Составляющие реакции Ra = ХА + УА лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения шарнира

Известные заранее свойства реакции связи

Название связи и ее обозначение на схеме

Реакция связи

б) ось вращения шарнира лежит в плоскости рисунка

Составляющие реакции /?, = ХЛ + УЛ лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения шарнира

Таблица 2.4

Связи, для которых не известно направление их реакций

Известные заранее свойства реакции связи

Название связи и ее обозначение на схеме

Реакция связи

Из геометрии чертежа не получаем никаких данных о направлении линии действия силы или момента

7. Сферический (шаровой) шарнир А и подпятник В

Реакция задается тремя составляющими

8. Жесткая задел- ка/сварной шов

Реакция состоит из силы с моментом:

а) при действии на тело плоской системы сил реакцию представляют в виде двух составляющих RA = ХА + YA и скалярного момента, лежащего в той же плоскости

Известные заранее свойства реакции связи

Название связи и ее обозначение на схеме

Реакция связи

б) при действии на тело пространственной системы сил реакцию представляют в виде трех составляющих и пространственного момента, разложенного на три осевые

Если при этом после решения соответствующей задачи статики получено положительное значение для модуля этой составляющей, то направление реакции (заданное произвольно) указано верно. Если же значение модуля отрицательно, то направление этой составляющей реакции связи противоположно тому, которое было выбрано произвольно. Для нахождения модулей п составляющих необходимо составить п уравнений.

Еще одной важной аксиомой статики является аксиома связей или аксиома освобождения от связей: любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей (рис. 2.6) (аксиома 6 гл. С. 1).

К аксиоме освобождаемости от связей

Рис. 2.6. К аксиоме освобождаемости от связей

? В ТМ рассматриваются два вида трения: трение скольжения и трение качения. При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в местах их соприкосновения (вследствие деформаций поверхностей) возникает сила сцепления/сила трения покоя

FnoK, препятствующая движению тел относительно друг друга. Она всегда по величине равна силе, пытающейся сдвинуть тело, и направлена противоположно такой силе. Но эта сила имеет максимальный порог Fm.dX. Когда сдвигающая сила превышает этот порог и начинается относительное движение тела по поверхности другого тела, то в зависимости от вида движения возникают силы сопротивления. При скольжении — сила трения скольжения FCK, при качении — пара сил, создающая момент трения качения.

Явление трения повсеместно распространено в природе и технике (качение колес, муфты сцепления и др.). Во многих задачах ТМ, в том числе и в статике, необходимо учитывать действия сил трения.

Исследованием трения занимались Леонардо да Винчи (1452— 1519), Г. Амонтон (1663—1705). Законы трения были сформулированы Ш. Кулоном (1736—1806).

Приведем эти законы для трения скольжения[4].

I закон: Наибольшая сила трения скольжения пропорциональна величине нормальной составляющей реакции поверхности:

Величина / называется коэффициентом трения скольжения и является безразмерной (так как является отношением двух однородных величин, двух сил).

II закон: Трение скольжения зависит от материала и обработки трущихся поверхностей.

III закон: Трение скольжения не зависит от скорости и величины поверхности контакта трущихся тел.

IV закон: Сила трения скольжения при движении меньше максимальной силы трения покоя.

С этими свойствами сил трения связаны такие понятия, как угол трения/угол трения покоя и конус трения. Пусть сила Т пытается сдвинуть тело по некоторой шероховатой поверхности. Тогда возникает сила трения покоя FUOK и общая реакция поверхности R = Fn0K + TV составляет некоторый угол ф Ф 0 с вертикалью (рис. 2.7). При возрастании сдвигающей силы возрастает и сила трения покоя, пока она не достигнет порогового максимального значения. Одновременно возрастает и величина угла ф, пока не достигнет максимальной величины ф0. Это значение угла отклонения реакции шероховатой поверхности от вертикали и называется углом трения. Его значение вычисляется по формуле tg ф0 = Fmax/N=f.

Угол трения покоя

Рис. 2.7. Угол трения покоя

Так как тело, опираясь на шероховатую поверхность, может перемещаться вдоль нее в любом направлении, то линии действия реакции этой поверхности описывают в пространстве конус. Прямой круговой конус, образующие которого с нормалью к поверхности в данной точке составляют угол трения <р0, называется конусом трения (рис. 2.8). Пусть к телу приложена система активных сил, чья равнодействующая /’проходит через основание конуса трения. Если при этом угол, составляемый равнодействующей и осью конуса трения а, будет меньше или равен углу трения (т.е. равнодействующая лежит внутри конуса трения или на его поверхности), то тело будет находиться в равновесии. Если же а > ср0, то касательная составляющая равнодействующей активных сил будет превосходить максимальную величину силы трения и начнется скольжение.

Конус трения покоя

Рис. 2.8. Конус трения покоя

Появление силы трения качения связывают с изменением формы поверхности, по которой катится тело (рис. 2.9, а, б). В результате реакция шероховатой поверхности оказывается приложенной не в точке А, а в смещенной от нее на расстояние б точке В.

Таким образом, в предельном положении равновесия катка пара сил Г, Ркач (силы тяги и силы трения качения) оказывается уравновешенной парой сил Р, N. Момент этой пары с модулем 5N и называют моментом трения качения. Из условия равновесия (см. далее) имеем или 6NrN = 0, откуда

где N — сила нормальной реакции поверхности на катящийся цилиндр; г — его радиус; 5 — коэффициент трения качения. Коэффициент 5 измеряется в единицах длины, как видно из формулы (2.2).

, б. Появление момента сил трения качения на деформированной поверхности

Рис. 2.9, б. Появление момента сил трения качения на деформированной поверхности

Рис. 2.9, о. Отсутствие момента сил трения качения на гладкой поверхности

При равновесии катка Fr я = Тотсутствие скольжения и качения будет при одновременном выполнении двух условий:

Для большинства материалов отношение Ъ/r значительно меньше коэффициента трения скольжения /. Это позволяет силе тяги сначала преодолеть второе из условий (2.3), и под действием этой силы (bN/r < Т < fN) каток катится без скольжения. При Т > fN, кроме качения, происходит еще и скольжение.

Пример 1. Автомобиль весом Р стоит на наклонном участке дороги (рис. 2.10). Расстояние между центрами колес а, сила Р приложена в точке С, высота которой над полотном дороги равна h, коэффициент трения скольжения колес о дорогу равен/ При каком угле бокового наклона дороги а к плоскости горизонта может произойти опрокидывание автомобиля и когда может начаться боковое скольжение?

Решение. При равновесии автомобиля, стоящего на дороге, на него будут действовать сила тяжести Р, нормальные реакции дороги 2V,, N2 и силы трения F2 (см. рис. 2.10). Определим условия опрокидывания. При опрокидывании автомобиль будет поворачиваться вокруг точки А и силы N2, F2 на него действовать не будут. Опрокидывание произойдет, если при отрыве колеса В от полотна дороги момент относительно

К примеру 1

Рис. 2.10. К примеру 1: автомобиль на наклонной дороге

точки А опрокидывающих сил будет больше момента сил удерживающих, т.е.

Отсюда следует, что опрокидывание будет, если

Определим условия соскальзывания: оно происходит, когда сдвигающая по наклонной плоскости вниз сила больше суммарной силы трения. Рассматривая действие системы сил на автомобиль и составив уравнение проекций на ось АВ, получим условие скольжения:

Учитывая, что, получим условие

скольжения:

Таким образом, анализируя полученные результаты, приходим к следующему выводу:

автомобиль скользит без опрокидывания при

автомобиль опрокидывается без скольжения при

автомобиль и опрокидывается, и скользит при

автомобиль не опрокидывается и не скользит при

? Система сходящихся сил (ССС)

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 2.11, а). По следствию из аксиом 1 и 2 статики ССС, действующая на ATT, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке. Следовательно, используя аксиому параллелограмма сил, можно утверждать, что ССС имеет равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил (т.е. ее главному вектору) и приложенную в точке их пересечения (рис. 2.11, б, в).

Система сходящихся сил

Рис. 2.11. Система сходящихся сил

Условие равновесия ATT под действием ССС имеет самый простой вид: для равновесия такого тела необходимо и достаточно, чтобы главный вектор ССС был равен нулю.

Геометрическая форма этого условия равновесия: для равновесия ATT под действием ССС необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник ССС был замкнутым (см. рис. 2.11, б).

Аналитическая форма этого условия равновесия: для равновесия ATT под действием ССС необходимо и достаточно, чтобы модуль равнодействующей был равен нулю (2.4) и (2.5), т.е.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, следовательно, для выполнения условия равновесия необходимо и достаточно, чтобы

Иначе говоря, для равновесия тела под действием пространственной ССС необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из координатных осей была равна нулю.

? Теорема о трех силах

При решении задач статики иногда удобно использовать следующее свойство уравновешенных систем.

Теорема. Если Л ТТ находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии их действия пересекаются'.

Доказательство. Пусть к ATT приложены в точках А, В и С три непараллельные взаимно уравновешивающиеся силы F^3 (рис. 2.12).

К теореме о трех силах

Рис. 2.12. К теореме о трех силах

Перенесем любые две из этих сил (например, Fu 2) вдоль их линий действия в точку пересечения О и на основании аксиомы сложения сил заменим их одной силой F]+2 = F] + F2. Таким образом, на ATT, находящееся в равновесии, действует система из двух сил. Следовательно, эти силы действуют вдоль одной прямой, значит — линия действия силы F3 также проходит через эту точку О. U

Эта теорема устанавливает только необходимое, но не достаточное условие равновесия ATT под действием трех сил. Действительно, обратное утверждение не всегда имеет место: если линии действия трех сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке, это еще не означает, что они образуют уравновешенную систему сил. [5]

  • [1] Термин «гладкая» означает, что трением можно пренебречь.
  • [2] Рассматриваем только гибкие, нерастяжимые нити, воспринимающие только растягивающие их силы.
  • [3] Соединение тел, позволяющее им взаимно проворачиваться.
  • [4] Уточним — сухого скольжения. При наличии между трущимися телами смазки эти законы теряют силу.
  • [5] Несколько иная формулировка этой же теоремы: если ATT находитсяв равновесии под действием системы трех сил, две из которых пересекаются в одной точке, то линии действия всех трех сил пересекаются в этойточке.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >