Классическое и статистическое определения вероятности события

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами шр со2, ш/7. Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов в этом случае оказывается всего шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события, как уже отмечалось, является вероятность. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с возможностью априорного составления модели рассматриваемого события и введения понятия благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление приводит к наступлению этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани — имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее количество возможных исходов — 6. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Определение (классическое). Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов:

где Р(А) — вероятность события А, т — число благоприятствующих событию А исходов, п — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события А в опытах и требует проведения последовательности эмпирических исследований, результаты которых используются при вычислении относительной частоты события А.

Относительная частота появления события А вычисляется по формуле

где w, — число появления события А в серии из л, опытов (испытаний).

Определение (статистическое). Вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота Р*(А) при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события А принимается относительная частота Р*(А) при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события А видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.8) часто используют формулы комбинаторики (1.2)—(1.9), по которым находят число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Пример 1. Известно, что в поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными.

Для решения данной задачи введем обозначения. Пусть N —

30 — общее число машинок, п — 20 — число бездефектных машинок, /и — 5 — число отобранных в партию машинок, к — 3 — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по т машинок, т.е. общее число возможных исходов будет равно числу сочетаний из N элементов по т, т.е. Cjy . Но в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из п элементов по к, т.е. С*. С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из N-n элементов по т-к, т.е. Сц~кп • Значит, общее число благоприятствующих исходов определяется произведением Ск ? C^Zkn • Откуда получаем

Подставим сюда численные значения:

Формула (1.10) носит название формулы гипергеометрического распределения.

Пример 2. Изготовлена партия обуви в количестве 22 пар. Известно, что в ней находится 10 пар бракованных. Для проверки отобрано 4 пары. Определить вероятность того, что в отобранных парах одна, две или три пары окажутся бракованными.

Используем формулу (1.10) для трех событий:

Ах одна бракованная пара среди отобранных,

А2 две бракованные пары среди отобранных,

А3 три бракованные пары среди отобранных.

Находим вероятности этих событий:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >