Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Если производятся испытания и вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания являются независимыми. Пусть эти вероятности одинаковы и равны р. Тогда вероятность ненаступле- ния события А в испытании равна q = 1 - р.

Теорема 4.9. Математическое ожидание числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А в каждом испытании.

Доказательство. Пусть X— число появления события А в п испытаниях. Это число равно сумме чисел появления события А в каждом испытании:

и

Но в каждом испытании событие А может либо появиться, либо не появиться. Поэтому М(Х) = 1 • р + 0 • q = р, откуда М(Х) = пр.

Теорема 4.10. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

Доказательство. Пусть X— число появления события А в п независимых испытаниях. Оно равно сумме появления события А в каждом испытании:

Так как испытания независимы, то и случайные величины Xv Х2, ..., Хп независимы. Поэтому

Но D(X) = МЦ2) - МХ), / = 1,2, ..., п.

Как уже было показано выше, М(Х^) = р, a M(Xf) = 12 ? р +

+ 0 • q = р.

Тогда

Пример. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию правильно оформленных балансов.

По условию п = 5; р = 0,7; тогда q = 0,3,

Начальные и центральные моменты

Кроме математического ожидания и дисперсии для оценки случайной величины используются и другие числовые характеристики. Все эти числовые характеристики носят общее название моментов случайной величины. Различают начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка к случайной величины Xназывается математическое ожидание величины Хк

Центральным моментом порядка к случайной величины Xназывается математическое ожидание величины (X- Мх)к

Начальный момент первого порядка v, = М(Х) представляет собой математическое ожидание самой случайной величины X.

Центральный момент первого порядка, как уже было отмечено, равен нулю:

Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию случайной величины

Для дискретных случайных величин

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >