Критерии согласия

Одной из главных задач математической статистики является установление истинного закона распределения случайной величины на основании экспериментальных данных. Вид закона распределения определяют из общих, технических, финансовых и других соображений, учитывая схожесть условий эксперимента с исследованными ранее, или из теоретических предпосылок.

На практике о виде закона распределения можно судить по графику выборочной плотности распределения вероятностей. Параметры закона распределения обычно неизвестны и их заменяют на выборочные значения. Однако как бы мы ни выбирали закон распределения и его параметры, полной уверенности в том, что в результате получится истинный закон распределения, к которому принадлежит имеющаяся выборка, не существует. Поэтому может ставиться вопрос лишь о том, что на определенном уровне доверия выбранный закон согласуется с данными выборки.

В соответствии с этим критерии, устанавливающие закон распределения, называются критериями согласия, к которым можно отнести критерии Колмогорова — Смирнова, Пирсона и др.

Рассмотрим критерий Пирсона на примерах и задачах.

Пусть {х, х2,..., хп} — выборка из некоторой генеральной совокупности X, F(x) — предполагаемая функция теоретического распределения. На основании выборки построим интервальный ряд {Аг, щ), i = 1, 2, ..., т, где щ — число элементов выборки, попавших в интервал Д,- = [ah ai+l). Для каждого интервала Д,- вычислим теоретические вероятности р{ попадания в него случайной величины X:

Числа щ и npi называются эмпирической и теоретической частотами соответственно. Доказано, что при п —> °° статистика

имеет х|-распределение с k = т - г - 1 степенями свободы, где т — число интервалов вариационного ряда; г — число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.

Основная гипотеза Н0 состоит в том, что функцией распределения случайной величины X является выбранная теоретическая функция F(x).

Для заданного уровня доверия у по таблицам распределения %1 находим критическое значение

Гипотеза Щ о согласии экспериментальных данных с распределением F(x) принимается, если

Отметим, что статистика t имеет распределение х2 при п —» °о, поэтому критерий Пирсона следует применять только при больших п (п> 30).

Замечание. Наряду с приведенным критерием согласия Пирсона имеются и другие критерии, например критерий Колмогорова.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >