Приближенные вычисления и значащие цифры

В аналитической химии, как и в любых точных науках, широко используются величины, получаемые экспериментальным путем. Некоторые из них могут быть известны абсолютно точно (например, число таблеток, взятых для анализа), другие (объем раствора, масса навески) — с некоторой неопределенностью. Простейшим способом описания неопределенности численной величины является понятие «значащие цифры».

Значащими называют все достоверные цифры, входящие в состав численной величины, а также первую следующую за ними недостоверную цифру. Так, в числе 103,2 — пусть оно показывает, например, объем раствора — четыре значащие цифры. Первые три — 1, 0 и 3 — достоверно известны, последняя (2) имеет некоторую недостоверность. Обычно «по умолчанию» недостоверность последней значащей цифры принимается равной ±1, поэтому указанную выше величину можно представить как 103,2 ±0,1.

При определении количества значащих цифр, входящих в состав численной величины, используют следующие правила. Во-первых, положение запятой не влияет на число значащих цифр. Так, числа 1,032; 10,32; 103,2 и 1032 имеют одинаковое число значащих цифр — четыре. Во-вторых, нули, входящие в состав числа, могут быть как значимыми, так и незначимыми. Если нуль стоит в начале числа и определяет место десятичной запятой, то он незначим. Если нуль находится между другими значащими цифрами, то он значим. Например, число 0,005 имеет одну значащую цифру, а число 5,005 — четыре. Нули, стоящие в конце числа, могут быть как значимыми, так и незначимыми. Например, в числе 50,00 — четыре значащие цифры. Нули, стоящие после запятой, значимы (иначе их просто не было бы смысла указывать). В числе 50 может быть одна значащая цифра, если нуль указывает лишь порядок величины, или две, если это число может быть записано как 50 ± 1. Для того, чтобы избежать проблем с определением числа значащие цифр, входящих в состав недостоверно известной величины, рекомендуется все используемые численные величины записывать в виде числа, все цифры которого значимы, умноженного на десять в некоторой степени. Например, 0,05 = = 5 • ИГ2; 0,050 = 5,0 ИГ2 и т.д.

При вычислениях с использованием экспериментально полученных величин следует помнить, что в результате расчетов «точность» не должна искусственно повышаться, так как она определяется тем, с какой погрешностью измерены исходные величины, входящие в расчетную формулу. Существует ряд правил, которые в большинстве случаев позволяют избежать ошибок при расчетах.

Сложение и вычитание. Перед проведением данных действий необходимо вначале все числа округлить до одинакового числа десятичных знаков (но не обязательно до одинакового числа значащих цифр!) — такого же, как у числа с минимальным числом десятичных знаков. Принцип округления: если первая цифра, следующая за округляемой, меньше 5, то округляемая цифра остается неизменной, если больше 5, то округляемая цифра увеличивается на 1. Если же цифра, следующая за округляемой, точно равна 5, то четную округляемую цифру оставляют без изменений, а нечетную увеличивают на 1. Например, если необходимо провести округление до двух десятичных знаков, то число 10,5443 следует округлить до 10,54, число 10,5498 — до 10,55, а число 10,545 — до 10,54.

Основное правило сложения и вычитания таково: сумма (или разность) должна содержать столько же десятичных знаков, сколько этих знаков содержится у числа с наименьшим их количеством. Например, необходимо определить общую массу трех навесок. Пусть масса первой навески равна 10,2 г, второй 0,233 г, а третьей 1,03 г. Согласно указанному правилу,

10,2 + 0,233 + 1,03 = 10,2 + 0,2 + 1,0 = 11,4 г.

Ответ 11,363 будет излишне «точным», его использовать нельзя.

Возможна и другая последовательность действий: вначале проводят сложение (вычитание) неокругленных чисел, а затем уже полученный ответ округляют до требуемого числа десятичных знаков.

При сложении или вычитании чисел, записанных в степенной форме, их вначале приводят к числу с наибольшим показателем степени, а затем поступают так же, как и в случае обычных чисел. Например:

1,03 102 + 5,2 103 = 0,103 103 + 5,2 103 = 5,3 103.

Деление и умножение. Определение правильного числа значащих цифр, которое должно остаться в произведении или частном, представляет собой более сложную задачу по сравнению с определением числа значащих цифр в сумме или разности. Строгий подход предполагает сравнение относительных недостоверностей исходных величин и получаемых результатов. В большинстве случаев, однако, можно ограничиться таким правилом: результат деления или умножения должен иметь столько же значащих цифр (а не десятичных знаков!), сколько их содержится в наименее точно известном числе. Например, если измеренная длина прямоугольника равна 103,2 см, а ширина 0,22 см, то площадь этой фигуры следует считать равной 23 см2, а не 22,704 см2.

Другие операции. При возведении в степень, равную п, относительная недостоверность результата будет в п раз больше, чем недостоверность исходной величины. При извлечении квадратного корня (п = 1/2) относительная недостоверность уменьшается в два раза, кубического (п = 1/3) — в три раза, поэтому можно, например, считать, что ^/8,0 =2,00. При взятии десятичного логарифма недостоверность результата составляет примерно 0,43 от относительной недостоверности исходного числа, поэтому при логарифмировании число значащих цифр обычно увеличивают. При потенцировании (взятии антилогарифма) число значащих цифр уменьшают. Например:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >