Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дан определитель n-го порядка. Выделим в нем произвольно к строк и к столбцов. Определитель к-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечениях выделенных строк и столбцов, называют минором к-то порядка определителя. В частности, минорами первого порядка являются элементы определителя. Миноры, расположенные симметрично относительно главной диагонали определителя, называются главными.

Если в определителе n-го порядка выделить к строк и к столбцов и из элементов, стоящих на их пересечении, составить минор М Zero порядка, затем вычеркнуть выделенные к строк и к столбцов, то из оставшихся элементов можно составить определитель М' (пк)-го порядка. Этот определитель называют дополнительным минором к минору М.

Очевидно, что если минор М' является дополнительным к минору М, то и, наоборот, минор М является дополнительным к минору М'. Дополнительный минор элемента aij обозначают M[j. Алгебраическим дополнением минора М называют его дополнительный минор М', взятый со знаком (—1)*м, т.е. ( —1)*'м М', где sm ~ сумма номеров всех строк и столбцов, в которых располагается минор М. В частности, для алгебраического дополнения Аг] элемента ац получается формула

Теорема 2.1. Произведение любого минора М к-го порядка на его алгебраическое дополнение А = (—1)SM М' представляет собой сумму к (п—к) различных членов определителя А е теми же знаками, с какими они входят в определитель А.

О Сначала рассмотрим случай, когда минор М расположен в верхнем левом углу определителя:

т.е. в строках и столбцах с номерами 1, 2, ..., к. Тогда дополнительный минор М' будет расположен в правом нижнем углу определителя А, т.е. в строках и столбцах с номерами к+1, к + 2, ..., п. Алгебраическое дополнение А = ( —1)SM М' в этом случае совпадает с дополнительным минором Мтак как число

является четным.

Произвольные члены миноров М и М' имеют вид соответственно и

где t - число инверсий в перестановке ос сч2 ... <т/с, a t! - число инверсий в перестановке fik+i Рк+2 ••• Рп- Общее число членов вида (2.7) равно

к, а число членов вида (2.8) равно (п — к). Перемножив произведения

(2.7) и (2.8), получим произведение

Это произведение является членом определителя А, так как его сомножители взяты из разных строк и разных столбцов этого определителя и их количество равно п. Кроме того, число t + t' совпадает с числом инверсий в перестановке

и силу того, что все щ ^ к, а все fij ^ к + 1 и никакой символ щ не может образовать инверсию ни с каким символом (3j. Число членов вида (2.9) равно к (п — к). Этим доказана теорема в рассматриваемом частном случае.

Теперь рассмотрим общий случай, когда минор М расположен в произвольных строках с номерами i, гг, ..., г к и произвольных столбцах с номерами Д, Д, ..., jk, где можно считать, что Д < гг < ... < ik и ji < Д < ••• < jk- Последовательно переставляя строку с номером Д с предыдущими строками с номерами Д — 1, гг 2 и т.д. (всего таких перестановок i — 1), переведем строку с номером i на первое место. Затем аналогичным образом, совершив гг — 2 перестановок, переведем строку с номером гг на второе место. Продолжая так и далее, получим определитель, в котором минор М окажется расположенным в первых к строках, причем общее число перестановок строк равно

Описанную процедуру повторим и для столбцов минора М, совершив всего

перестановок столбцов. В результате всех перестановок (и строк, и столбцов) минор М окажется в левом верхнем углу нового определителя А'. Дополнительный минор М1 в результате этих перестановок не изменится и окажется в правом нижнем углу определителя А'. Определитель А' получен из определителя А в результате

перестановок его строк и столбцов, при каждой из которых меняется знак определителя. Поэтому

так как число 2 (1 + 2 + ... + к) четное.

По доказанному выше произведение М М' является суммой к (п— —к) членов определителя А' с теми же знаками, с какими они входят в определитель А'. В то же время из соотношения (2.10) следует, что члены определителей А' и Д отличаются лишь множителем ( —1)SM. Поэтому произведение

состоит из к (п — к) членов определителя Д с теми же знаками, какие они имеют в определителе Д. Тем самым теорема доказана полностью. ?

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы