Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Крамеровские системы

Систему

п линейных уравнений с п неизвестными, определитель

которой отличен от нуля, будем называть крамеровской системой. Для таких систем верно следующее утверждение.

Теорема 2.5. Крамеровская система (2.18) линейных уравнений всегда совместна и имеет единственное решение, причем это решение может, быть вычислено по формулам Крамера

где определитель Д , , j = 1,2, получается из определителя Д системы заменой в нем j-го столбца столбцом свободных членов системы.

> Предположим, что система (2.18) совместна, и докажем, что она имеет единственное решение. Пусть х, Х2, ..., хп - какое-либо решение системы (2.18). Умножим обе части первого уравнения системы на алгебраическое дополнение Aj элемента aj определителя Д, обе части второго уравнения системы на алгебраическое дополнение A2j элемента a,2j определителя Д и так далее до последнего уравнения, обе части которого умножим на алгебраическое дополнение АП] элемента anj определителя Д. Сложив полученные уравнения, придем к равенству

В этом равенстве в силу соотношений (2.12) и (2.15) выражение, стоящее множителем при Xk, к = 1, 2, ..., п, равно нулю при к ^ j и равно Д при к — j. Выражение в правой части равенства представляет собой разложение по j-му столбцу определителя Д7, получаемого из определителя Д заменой в нем j-ro столбца столбцом свободных членов системы. Следовательно, Д Xj = Aj, j = 1, 2, ..., п, и, поскольку Д ^ О,

т.е. каждое неизвестное xj определяется однозначно. Таким образом, если система (2.18) совместная, то она имеет единственное решение.

Докажем, что система (2.18) на самом деле совместная. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой значений Х, х-2- ..., хп, вычисленных по формулам Крамера (2.19), в уравнения системы (2.18). Такая подстановка в г-е уравнение системы (г = 1, 2, ..., п) дает

так как выражение, стоящее множителем при /г = 1, 2, ..., п, в силу равенств (2.12) и (2.15) равно нулю при к Ф i и равно Д при к = г. ?

Следствие. Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными, у которой определитель отличен от нуля, имеет единственное, а именно нулевое, решение.

Вычисление решения системы п линейных уравнений с п неизвестными с ненулевым определителем с помощью формул Крамера (2.19) называют правилом Крамера. Формулы Крамера позволяют выразить решение крамеровской системы через коэффициенты этой системы, что бывает удобно, особенно в теоретических рассуждениях. Однако практическое применение этих формул для решения систем линейных уравнений приводит к трудоемким вычислениям, так как для системы гг-го порядка требуются вычислить (п + 1) определителей n-го порядка. Например, для решения системы

по формулам Крамера необходимо вычислить пять определителей четвертого порядка, а именно определителей

и лишь затем по формулам Крамера найти решение

В то же время решение этой системы методом Гаусса потребовало бы примерно столько же операций, сколько затрачено для вычисления лишь одного определителя четвертого порядка.

Упражнения

2.1. Решить методом Гаусса системы уравнений:

Ответы: 1) {4, -4, -6,3}; 2) {272 -4174,72,1574,74}; 3), 4) решения нет; 5) {-1/2,1/8,3/8,1/2}; 6) {? + 7з-74 - ?-75,+27з - 374 + п 75,73,74,75}-

2.2. Вычислить определители:

Ответы: 1) 5; 2) 80; 3) 222; 4) 396; 5) 160; 6) 20.

2.3. Применяя теорему Лапласа, вычислить определители:

Ответы: 1) 4; 2) 90; 3) -84; 4) 98.

2.4. Представить произведения определителей в виде одного определителя:

2.5. По формулам Крамера решить системы:

Ответы: 1) {1,2, -1, -2}; 2) {-2,2, -3,3}; 3) {1, -3, -2, -3}; 4) {2,0,0,0} 5) {1,-1,1,-1}; 6) {1,2,-1,-2}.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
     

    Популярные страницы