Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Умножение матриц

Умножение матриц определяется лишь для случая, когда число столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя. Пусть даны матрицы

Произведением матриц, Ап В, взятых в указанном порядке, называют матрицу С, элементы Cij которой определяются по следующему правилу:

Другими словами, элемент с^- матрицы С равен сумме произведений элементов г-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Произведение матриц А и В, взятых в указанном порядке, обозначают через А В. Операцию нахождения произведения матриц называют умноэюением матриц. Произведение прямоугольных матриц есть прямоугольная матрица, число строк которой равно числу строк первого множителя, а число столбцов — числу столбцов второго множителя. Например,

Возможна ситуация, когда произведение матриц Ап В определено, а произведение тех же матриц В и Л, взятых в другом порядке, не определено. Так, для матриц

определено произведение А В, а произведение В Л не определено.

Оба произведения А В и В А определены, если А — матрица размера т х п, а В — матрица размера п х т. В частности, это условие выполняется для квадратных матриц одинакового порядка.

Из приведенных примеров видно, что если даже оба произведения А В и В А имеют смысл, то эти произведения могут оказаться неодинаковыми, т.е. умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Если произведения АВиВА определены и А В = В А, то матрицы А и В называют перестановочными. Например, скалярная матрица n-го порядка перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, причем единичная матрица n-го порядка играет среди квадратных матриц n-го порядка ту же роль, что и единица при умножении чисел, т.е. выполняются равенства Е А = А Е = А.

Непосредственной проверкой можно доказать, что умножение матриц обладает следующими свойствами:

  • 1) А (ВС) = (А В) С;
  • 2) а (А В) = (аА)В — А (а В);
  • 3) С (А + В) = СА + СВ-,
  • 4) (А + В) С = АС + В С.

Докажем, например, первое равенство. Пусть А = (а^), В = (bjk), С = (с*/). По определению произведения матриц элементами произведений U = ABviV = BC будут элементы

а элементами двойных произведений S = (А В) С и Т = А (В С) - соответственно элементы

и

Таким образом, соответствующие элементы матриц (АВ)С и А(В С) равны. Следовательно, сами эти матрицы равны.

Непосредственной проверкой можно также доказать следующие свойства:

В этих равенствах А - матрица, комплексно сопряженная с матрицей Л; Ат - матрица, транспонированная к матрице А; А* - матрица, эрмитово сопряженная с матрицей А.

Умножение матриц позволяет систему линейных уравнений

записать в матричной форме где

Важное значение имеет следующая теорема.

Теорема 3.1. Определитель произведения конечного числа матриц п-го порядка равен произведению определителей этих матриц.

> Утверждение теоремы достаточно доказать для случая двух матриц А = (ttjj) и В = (bjk)?

Рассмотрим вспомогательный определитель

Разлагая этот определитель с помощью теоремы Лапласа по первым п строкам, получим равенство А = |Л| В. Покажем далее, что А = |Л1?|. Для этого преобразуем определитель следующим образом. Сначала первые п столбцов, умноженных соответственно на 6ц,

&21) •••, bni, прибавим к (п + 1)-му столбцу. Затем первые п столбцов, умноженных соответственно на 612, 622, •••, Ьп2, прибавим к (п + 2)-му столбцу и т.д. На последнем шаге к (2п)-му столбцу будут прибавлены первые п столбцов, умноженных соответственно на Ъп, &2п> •••, Ьпп,. В результате получим определитель

в котором

т.е. Cij — элементы матрицы С = АВ.

Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним п столбцам, находим:

Итак, доказаны равенства А = А В и А = |Л В|, из которых следует, что А |В| = АВ. ?

Особо подчеркнем, что для определителей одинакового порядка выполняются соотношения

ходя для матриц в общем случае

Так, например, при А = ^ * 3 ) ’ 5 = ( 8 7 )

но

Квадратную матрицу называют невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ее определитель равен нулю Из доказанной теоремы следует, что произведение несколько квадратных матриц является невырожденной матрицей тогда и только тогда, когда все сомножители являются невырожденными матрицами.

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы