Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица А п-го порядка. Квадратную матрицу А-1 того же порядка называют обратной к матрице А, если

где Е — единичная матрица n-го порядка.

В соответствии с этим определением матрица А являет обратной к матрице Л-1, поэтому можно говорить, что матрицы А и А~1 взаимно обратны.

Если существует матрица, обратная к матрице А, то такая матрица единственна.

Допустим, что матрица А~1 является неединственной матрицей, обратной к матрице А. Возьмем другую обратную матрицу В. Тогда выполняются условия

Рассмотрим произведение В А А-1. Для него имеют место равенства

из которых вытекает, что В = Л-1. Тем самым единственность обратной матрицы доказана.

При доказательстве теоремы о существовании обратной матрицы нам потребуется понятие "присоединенная матрица". Пусть дана матрица

Матрица

элементами которой являются алгебраические дополнения Л^ элементов матрицы Л, называется присоединенной (или союзной) матрицей к матрице Л. Обратим внимание на то, что для построения присоединенной матрицы С элементы матрицы А нужно заменить их алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.

Теорема 3.2. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу Л-1, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. При этом матрица А~1 определяется формулой

где Aij - алгебраические дополнения элементов матрицы А.

> Пусть матрица А имеет обратную матрицу Л-1. Тогда выполняются условия А А-1 = Л"1 А = Е, из которых по теореме 3.1 получаем равенства |Л| |Л-1| = |Л_1| |Л| = 1. Отсюда следует, что определители | Л| и |Л-11 матриц Л и Л-1 отличны от нуля и связаны соотношением

Матрицы Л и Л-1 невырожденные, поскольку их определители отличны от нуля.

Пусть теперь матрица Л невырожденная. Докажем, что матрица Л имеет обратную матрицу Л-1 и она определяется формулой (3.3). Для этого рассмотрим произведение

матрицы А и присоединенной к ней матрицы С.

По правилу умножения матриц элемент Uij произведения АС матриц А и С имеет вид:

но согласно формулам (2.11) и (2.14) сумма произведений элементов г-й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов

j-й строки равна нулю при i ф j и определителю при г = j. Следовательно,

Поэтому

где Е — единичная матрица n-го порядка. Аналогично доказывается равенство С А = А ? Е. Таким образом,

а это означает, что

и матрица щ • С является обратной к матрице А. Следовательно, невырожденная матрица А имеет обратную матрицу, которая определяется формулой (3.3). ?

Следствие 3.1. Определители матриц А и А~1 связаны соотношением (3.4).

Следствие 3.2. Основное свойство присоединенной матрицы С к матрице А выражается равенствами (3.5).

Следствие 3.3. Определители невырожденной матрицы А и присоединенной к ней матрицы С связаны равенством

Следствия 3.1 и 3.2 установлены в ходе доказательства теоремы. Следствие 3.3 вытекает из равенства АС = А • Е и свойства определителей, согласно которому при умножении матрицы на число определитель умножается на п-ю степень этого числа. В данном случае

откуда следует, что С = ,4|п-1.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. (А-1)-1 = А.

  • 2. (AT)_1 = (A~Y.
  • 3. (A*)-1 = (A-1)*.
  • 4. (A,^)-1 = W-

Для проверки, например, четвертого свойства достаточно рассмотреть произведения Аг) (А^1 А^1) и (А^1 А^"1) (Ai Аг). Из свойств произведения матриц вытекает, что

Для того чтобы проверить второе свойство, достаточно рассмотреть произведения Ат-1)т и (А-1)т Ат:

Формула (3.3) позволяет находить обратную матрицу. Она удобна в случае матриц небольших размеров. В частности для матриц второго порядка обратная матрица находится по этой формуле практически без вычислений:

Пример 3.2. Найти матрицу, обратную к матрице

Решение. Определитель матрицы

отличен от нуля. Поэтому матрица А имеет обратную. Чтобы ее найти, сначала вычислим алгебраические дополнения:

Теперь по формуле (3.3) запишем обратную матрицу

Для матриц больших размеров отыскание обратной матрицы удобно проводить с помощью элементарных преобразований над матрицами. Этот метод состоит в следующем. Выписывают составную матрицу (АЕ) и по схеме метода Гаусса выполняют над строками этой матрицы (т.е. одновременно и в матрице Л, и в матрице Е) элементарные преобразования. В результате матрица Л преобразуется в единичную матрицу, а матрица Е — в матрицу Л-1.

Действительно, пусть одними и теми же элементарными преобразованиями над строками матриц Л и Е матрица Л преобразована в единичную, а матрица Е — в некоторую матрицу R. Это означает (см. разд. 3.5), что матрица R является результирующей матрицей преобразований, выполнение которых равносильно умножению слева на матрицу R. Поэтому имеем равенство RA = Е, откуда, умножая справа на матрицу Л-1, получаем RAA~l = Л-1, или R = Л-1.

Пример 3.3. Найти матрицу, обратную к матрице

Решение. Запишем составную матрицу (АЕ) и преобразуем ее с помощью элементарных преобразований строк в соответствии с методом Гаусса. В результате получим:

Из полученного заключаем, что

По схеме проведения операций рассмотренный способ совпадает со следующим. Для вычисления матрицы А-1, обратной к матрице А = (a,ij), составим систему линейных уравнений

и методом Гаусса разрешим ее относительно переменных х, х^, ..., хп. В результате получим соотношения

Матрица В этой системы, составленная из коэффициентов при переменных г/1, у2, уп и будет обратной матрицей Л-1. Для иллюстрации сходства этого способа с предыдущим найдем матрицу, обратную к матрице

из предыдущего примера. Для этого поставим систему

и решим ее методом Гаусса, проводя его в матричной форме записи:

Отсюда:

В этих преобразованиях коэффициенты при переменных уi, jj2, уп

образуют правую часть составной матрицы, преобразование которой было проведено в примере 3.3.

При вычислении обратной матрицы Л-1 можно опираться на ее определение, по которому матрица Л-1 является решением матричного уравнения АХ = Е, т.е. столбцы Xj, j = 1, 2, ..., п, матрицы Л-1 являются решениями систем линейных уравнений Л Xj = Ej, где Е;] j-й столбец единичной матрицы Е. Этот способ эквивалентен двум предыдущим способам. Он особенно удобен при вычислении обратной матрицы на компьютере.

В заключение заметим, что для крамеровской системы Ах = b решение с помощью обратной матрицы Л-1 можно искать в виде

Эта формула получается, если равенство Ах = Ь умножить слева на матрицу А~1. Формула оказывается удобной во многих случаях. Например, из нее легко получаются формулы Крамера. Формула полезна в теоретических рассуждениях. Если обратная матрица Л-1

известна, то с помощью формулы (3.6) легко решить систему Ах = Ь. Например, рассмотрим систему

Для матрицы

в примере 3.2 найдена обратная матрица

Поэтому решение системы можно вычислить так:

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы