Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису

Пусть в линейном пространстве X даны два базиса е = (ei, в2, еп) и е' = (е^, е'2,..., е'п) с матрицей перехода Т от базиса е к базису е', т.е. пусть е' = е Т и пусть вектор х имеет в базисах еие' координаты [хе, = (хъх2,...,хп)т и [ж]е/ = (х'1,х'2,...,х'п)т, т.е. пусть X = е [х]е и х = е' [ж]е/. Тогда, с одной стороны,

а с другой стороны,

Сравнив правые части этих равенств, получим

откуда в силу единственности разложения вектора по базису е вытекает равенство

или

В развернутом виде записанное равенство имеет следующий вид:

Соотношения (4.20)-(4.22) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора через его новые координаты. Эти формулы можно разрешить относительно новых координат вектора. Тогда получим соотношения:

или в развернутом виде

где Tij — элементы матрицы Т 1. Поясним применение этих формул на примере.

Пример 4.12. В пространстве Хз заданы вектор х и векторы е[, е2, е'3 базиса е' координатами в базисе е: [:х]е = (1,4,—1)т, К]е = (5, -1,2)т, 2]е = (2,3,0)т, [е'3]е = (-2,1,1)т, а также вектор у своими координатами в базисе е': [у]е> = (1,2, 3)т. Найти координаты вектора х в базисе е' и координаты вектора у в базисе е.

Решение. Ввиду того, что векторы базиса е' заданы столбцами координат в базисе е, можно составить матрицу перехода Т от базиса е к базису е', сгруппировав координатные столбцы векторов базиса е':

По формуле (4.20) получаем:

Далее вычисляем обратную матрицу перехода

и по формуле (4.23) находим:

Формулой (4.23) удобно пользоваться при отыскании матрицы перехода от базиса е к базису е', когда векторы этих базисов заданы своими координатами в некотором третьем базисе е°.

Пример 4.13. Найти матрицу перехода от базиса е = (ei,e2, е3) к базису е' = (e'^e^eg), если [ei]e° = (1,1,1)т, [е2]е° = (1,2,3)т, Ые‘ = (1,0,1)ти[е'1]е. = (1,1,1)т,[4].. =(1,2,1)г,[еУ«. = (1,1,3)т.

Решение. Перейдем от базиса е° к базису е и найдем координаты векторов базиса е' в базисе е. Матрицей перехода от базиса е° к базису е является матрица

а обратной к ней —

Поэтому для векторов е'ъ е^, е'ъ получаем:

Из полученных координатных столбцов составляем матрицу’ перехода от базиса е к базису е'

Замечание. Изложенный в примере способ построения матрицы перехода равносилен применению формулы (4.19).

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы