Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты

Однородные системы линейных уравнений

Напомним, что однородной системой линейных уравнении называют систему

у которой все свободные члены уравнений равны нулю. Такая система в матричной форме имеет вид

Любая однородная система совместна, поскольку имеет нулевое решение Х =Х2 = ... =хп = 0. Для такой системы применимы результаты предыдущего параграфа. Эти результаты приводят к следующему утверждению.

Теорема 4-14- Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела единственное решение (это будет нулевое решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы совпадал с количеством неизвестных системы.

Однородная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.

Из этой теоремы непосредственно вытекают следующие утверждения:

  • 1. Однородная система линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет бесконечное множество решений.
  • 2. Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное, а именно нулевое решение, тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы отличен от нуля; такая система имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю.

Первое утверждение очевидно, поскольку ранг матрицы рассматриваемой в нем системы меньше числа ее неизвестных.

Второе утверждение вытекает из того, что для квадратной матрицы ранг матрицы совпадает с ее порядком, если определитель матрицы отличен от нуля, и ранг матрицы меньше ее порядка, если определитель матрицы равен нулю.

Особо отметим (см. [16, с.83-84]) частный случай, когда однородная система состоит из п — 1 линейно независимых линейных уравнений с п неизвестными. Одним из решений такой системы является система чисел

где Mj, j = 1, 2, ..., n, — минор (n — 1)-го порядка, получающийся из матрицы рассматриваемой системы после вычееркивания в ней j-ro столбца, а общее решение имеет вид

где t — произвольное число.

Например, одним из решений системы

является система чисел

а общим решением этой системы является столбец с компонентами

где t — любое число.

4.9. Однородные системы линейных уравнений

Множество решений однородной системы, которые естественно записывать как векторы-столбцы, обладает следующими свойствами.

  • 1. Если вектор-столбец х — решение однородной системы Ах = О, то для любого числа Л вектор-столбец А ж также является решением этой системы.
  • 2. Если векторы-столбцы хну — решения однородной системы А х = 0, то вектор-столбец х + у также является решением системы.

Эти свойства вытекают из матричных соотношений

Два приведенных свойства можно объединить в одно утверждение: линейная комбинация решений однородной системы является решением этой системы. Другими словами, множество решений однородной системы с п неизвестными является линейным пространством[1]. Это линейное пространство конечномерно. Базис этого пространства называют фундаментальной системой решений (ФСР). Существование ФСР, а следовательно, и конечномерность линейного пространства решений вытекают из следующего утверждения.

Теорема ^.15. Если ранг матрицы А однородной системы Ах = 0 меньше числа неизвестных, т.е. г (А) = г < п, то размерность линейного пространства решений этой системы равна п —г.

> Если ранг матрицы А равен г < п, то из п неизвестных г являются главными, а п — г — свободными. Предположим, что в качестве свободных выбраны неизвестные xr+i, хг+2, • ••, хп. Возьмем произвольный ненулевой определитель d порядка п — г:

Свободным неизвестным xr+i, хт+2, ..., хп будем давать значения г-й строки этого определителя, г = 1, 2, ..., п — г и для данных значений свободных неизвестных будем определять из системы Ах = 0 значения главных неизвестных х, Х2, ..., хг. В результате получим п — г решений однородной системы Ах = 0:

Покажем, что этот набор решений представляет собой фундаментальную систему решений рассматриваемой однородной системы Ах = 0. Из столбцов решений составим матрицу

Ранг этой матрицы равен п — г, т.е. количеству столбцов, поскольку в последних п — г строках матрицы расположен ненулевой минор порядка п — г (это определитель, транспонированный к тому, который был выбран нами). Следовательно, все столбцы матрицы, входящие в ненулевой минор, линейно независимы.

Покажем, что любое решение

системы Ах = 0 линейно выражается через решения ал, ..., .тп_г. Рассмотрим столбцы

которые получаются, если в столбцах ал, ал, ••••> Хп-r вычеркнуть первые г компонент, соответствующих главным неизвестным. Поскольку квадратная матрица, составленная из этих столбцов, является невырожденной, столбцы линейно независимы. А так как количество столбцов равно размерности п — г арифметического пространства Кп-Г,

элементами которого они являются, система столбцов является базисом в Кп-Г, а столбец х' = (6r+i,.... Ьп)т линейно выражается через столбцы х[, ..., х'п_г. Пусть

Рассмотрим n-мерный вектор

Вектор у является решением системы Ах = 0, поскольку он представляет собой линейную комбинацию решений системы. В силу равенства (4.31) в решении у все свободные неизвестные имеют нулевые значения. Поскольку значения свободных неизвестных однозначно определяют значения главных неизвестных, а у системы Ах = О есть решение с нулевыми значениями свободных неизвестных — нулевое решение, заключаем, что и главные неизвестные решения у имеют нулевые значения, т.е. у = 0. Но тогда из равенства (4.32) получаем:

т.е. произвольно взятое решение х системы Ах = 0 линейно выражается через решения х, Х2, ..., хп-г. ?

Теорема 4-16. Пусть х, х2, хп-г — фундаментальная

система решений однородной системы Ах = 0. Вектор х является решением системы Ах = 0 тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде

где ci, С2, ..., сп_гнекоторые постоянные.

О Любой вектор, представимый в виде (4.33), есть решение системы Ах = 0, поскольку является линейной комбинацией решений системы. В то же время любое решение х системы Ах = 0 линейно выражается через фундаментальную систему решений, поскольку по определению фундаментальная система решений — это базис в линейном пространстве всех решений системы. Значит, имеет место представление (4.33). ?

Формула (4.33), описывающая все множество решений однородной системы, представляет собой общее решение системы.

Из доказательства теоремы 4.15 вытекает следующее правило построения фундаментальной системы решений.

  • 1°. В матрице системы находят базисный минор, например, приведением матрицы к ступенчатому виду. Выбор базисного минора позволяет в системе уравнений выделить базисную подсистему, а неизвестные разделить на главные и свободные.
  • 2°. Выбирают произвольный ненулевой определитель порядка, равного количеству п — г свободных неизвестных.
  • 3°. По каждой строке выбранного определителя находят соответствующее решение системы. Для этого в качестве значений свободных неизвестных поочередно берут элементы строк этого определителя и, решая базисную подсистему, находят значения главных неизвестных.
  • 4°. Полученные таким образом п—r решений системы составляют фундаментальную систему решений.

Поясним это правило на примере.

Пример 4.16. Найти какую-либо фундаментальную систему решений системы уравнений

Решение. Записав матрицу системы, приводим ее элементарными преобразованиями строк к ступенчатому виду:

Здесь базисный минор расположен в первых двух столбцах, главные неизвестные х, Х2, свободные неизвестные х3, х4. Систему, эквивалентную исходной, можно записать в виде

В качестве ненулевого определителя второго порядка проще всего взять единичный определитель

Выбор первой строки определителя означает, что свободные неизвестные принимают значения Х3 = 1, = 0. В этом случае Х = 3, х^ = 2.

Для второй строки определителя Хз = 0, х± = 1 и Х = 1, х^ = 1. Итак, получены два решения (3,2,1,0)т, (1,1,0,1)т, которые составляют фундаментальную систему решений.

Если выбрать другой определитель, например,

то имеем: для первой строки Хз = 1, х± = 2 и Х = 5, х-2 = 4; для второй строки хз = 3, Х4 = 4 и Х = 13, Х2 = Ю. В результате получим другую фундаментальную систему решений (5,4,1,2)т и (13,10,3,4)т. ?

Из рассмотренного примера видно, что если при построении фундаментальной системы решений в качестве ненулевого определителя выбрать определитель единичной матрицы, то вычисление столбцов фундаментальной системы решений наиболее просто. Предположим, что найдено общее решение однородной системы в виде

где Х. Х2, ..., хг главные неизвестные, a xr+i, хг+2, •••, %п свободные неизвестные. Допишем к этой системе формальные уравнения xr+i = xr+i, хг+2 = хг+2, ..., хп — хп и расширенную систему представим в векторной форме:

Правая часть векторного равенства представляет собой линейную комбинацию п —г вектор-столбцов, которые и составляют фундаментальную систему решений рассматриваемой однородной системы.

В рассмотренном примере систему (4.34) дополним формальными уравнениями Хз = Х3, Х4 = Х4 и запишем в векторной форме:

Отсюда получаем фундаментальную систему решений

  • [1] На самом деле доказано несколько иное утверждение: множество решенийоднородной системы с п неизвестными является подпространством в п-мерномлинейном арифметическом пространстве Кп (см. разд. 4.11). То, что множестворешений — линейное пространство, можно установить непосредственной проверкой аксиом линейного пространства.
 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы